兩個重要極限的簡化證明

摘要幾年來的教學研究與實踐，體會到在極限理論中，兩個重要極限的簡化證明提供了一個便于高職高專高等數學教學簡便的直接方法。

關鍵詞高職高專高等數學極限證明

中圖分類號:O13文獻標識碼:A

《高等數學》微積分學中有兩個重要極限公式[sinx/x] =1及(1+1/n)n= e。表面上看這兩個公式只是解決了部分時型和時型極限的計算問題。實際上由于這兩個公式是高度抽象的，它們的含義非常深刻。學習高等數學極限是很重要的基礎，引導學生掌握極限的本質還是很有必要的。兩個重要極限的簡化證明，不僅給學生提供了一個提升對兩個重要極限的認識的途徑，也提供了一個便于高職高專高等數學教學簡便的直接方法。

1 兩個重要極限的地位及作用

極限存在的兩個準則以及由它們所推導出的兩個重要極限，在求解極限問題中都占有很重要的地位。但是，我們往往注重的僅僅是它們在求極限過程當中的運用，而忽略了它們本身的證明，尤其是重要極限limn→∞(1+1n)n=e。針對這一現象，也為了拓展學生在數學學習中的思維，教學中應給出重要極限limn→∞(1+n1)n=e的證明方法。針對不同層次的學生給予證法比較，有助于學生復習鞏固所學知識。

2 兩個重要極限的證明

Ⅰ 極限[sinx/x] =1

該極限的證明，關鍵是證不等式:sinx

如圖:

設單位圓⊙O的漸開線為。若記∠TOA=x，并過T作TH⊥X軸于H，TBC切⊙O且交AC X及X軸分別于B、C，則

Sinx =TH

這個證明避免了傳統證法中的“循環論證”。

因扇形面積OAT=x的求得，一般是n等分∠AOT成n個等腰△AiOAi-1(i=1.2，…，n，A=A0，T=An)，則

∑△AiOAi-1=∑Sin(x/n)=n Sin(x/n)

此時，扇形面積OAT=∑△AiOAi-1=∑Sin(x/n)=x [Sin(x/n)/(x/n)]

顯然當[Sin(x/n)/(x/n)]=1時，扇形面積OAT=x，但令t= x / n，則該極限為要證明的重要極限I，即出現循環論證。

Ⅱ 極限(1+1/n)n = e

設An=(1+1/n)n，利用算術和幾何不等式關系，得:

An=(1+1/n)(1+1/n)……(1+1/n)·1≦[(n(1+1/n)+1)/(n+1)] n+1

即數列{An}單增。

另外，設Bn=n/(n+1) ，利用算術和幾何不等式關系，得:

Bn=1- 1/(n+1)>1- 1/n=[(2·(1/2)+(n-2))/n] [(1/2)2·1n-2]=(1/4)1/n

則4≥ [(n+1)/ n]= (1+1/n)n

即數列{An}有上界。

于是，極限Ⅱ存在，并記為數e。

3 在練習中鞏固所學內容，提升對兩個重要極限的認識

選擇典型例題，利用兩個重要極限進行極限的計算，提升對兩個重要極限的認識。

例1 求。

解=()==1

例2求

解===

例3 求

解==e-1

例4求

解=[ln(1+x)]=1

例5求(1+sinx)2cotx

解(1+sinx)2cotx=[(1+sinx)]2sinxcotx

由于 (1+sinx) =e，sinxcotx=cosx=1

所以 (1+sinx)2cotx =e2。

通過對“兩個重要極限”的作用的深入分析和證明，指出它們不僅是微積分學的計算基礎，而且本身就體現了微積分學的基本思想，學習研究應有積極思考，探微溯源的態度，才可抓住問題本質，加深認識，提高教學質量。