淺談定積分的定義

摘要定積分是一元函數微積分學的基本概念之一，也是高等數學教學的一個難點。定積分因為概念比較抽象，初學者往往難以理解。本文講述的是如何講授才能使學生理解定積分的定義和幾何意義，并在講授的同時培養學生的思維方式，提高學生分析和解決問題的能力。

關鍵詞實際應用模型極限工具分割

中圖分類號:O13文獻標識碼:A

定積分的概念是來源于實際應用模型，借助于極限工具，以結構性的形式而嚴格定義的。研究的是在某區間上的非均勻量的求和問題，通過“分割、近似、求和、極限”四個步驟完成。定積分的概念在積分學中既是重點也是教學難點。

1 定義的引入

1.1 求曲邊梯形面積

(1)介紹曲邊梯形:由曲線與直線及軸所圍成的平面圖形。

(2)如何計算曲邊梯形的面積?

(3)啟發講解:

A復習矩形、梯形面積的求法;

B 提出問題:曲邊梯形面積該如何求?(學生討論)

C 討論歸納:① 對曲邊梯形進行分割，且分割得越細越好;

② 分割出來的每個窄曲邊梯形都用一個小矩形去近似替代它;

③ 這些小矩形面積之和即可作為曲邊梯形面積的近似值;

④ 如何利用曲邊梯形的近似值得到曲邊梯形的精確值呢?

D 用數學語言表示上述歸納:① 分割;② 近似;③ 求和; ④極限。

1.2求變速直線運動的路程

(1)提出問題:質點在[]內做變速直線運動，如何求質點在這段時間內運動的總路程?

(2)利用上述求曲邊梯形面積的思想讓學生自己歸納如何求變速直線運動的路程。

① 對[]這個時間段進行分割，且分割得越細越好;

② 分割出來的每個小時間段都用勻速直線運動近似替代它，

③ 各個小時間段內勻速運動的路程之和即可作為[]內質點運動的總路程;

④ 提問:何時這些勻速運動的路程總和能無限接近[]內質點運動的總路程呢?學生就會想到取極限這個思想上來。即:，{}

歸納:這兩個問題雖然實際背景不同，但表達式實質相同，由此抽象出定積分的定義。

2 定積分的定義

(1)定義:設函數f(x)是定義在[]區間上的有界函數，在[]區間中任意插入個分點，，且記第個小區間的長度為，取max{};在第個小區間[]上任取一點(i=1，2，...，n)，作和式.如果當時該和式有極限I，且該極限I不依賴于的選擇，也不依賴于[]如何劃分，則稱此極限I為以為下限、為上限的定積分。這時我們就說函數在[]是可積的，且記

(2)(互動講解)讓學生思考:定積分與不定積分由哪些區別?

3講解例題

例. 利用定積分定義計算:

[解法]:將區間[]等分，分點為

記每個小區間[]的長度， 取，

則得和式

由積分定義得:

4 小結

(1)定積分的實質是一個和式的極限值，是一個常數;

(2)該值與[]的劃分無關，與內的取法也無關，只依賴于與[];

(3)的值與積分變量(用什么字母表示)無關，即=。