多思出妙解 反思有創新

對一個數學問題，只要我們從不同角度去思考分析，往往可得到不同的解法，而在解完一個數學問題后，只要我們多反思解題過程中的得與失，對問題的條件與結論進行有效探究，往往可拓展出許多新的命題。下面以人教課標實驗版教材八年級《數學》（下）中第122頁第15題為例予以說明。

例如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分線CF于點F。求證：AE＝EF。

一、解法探究

解析1 如圖2，取AB的中點K，連EK，則AK=AB=BC=EC，

∠BKE＝∠BEK＝45°，∠AKE＝135°＝∠ECF。

又∠EAK+∠AEB＝∠FEC+∠AEB＝90°，

則∠EAK＝∠FEC，

∴△EAK≌△FEC。 ∴AE＝EF。

解析2 如圖3，過F點作MN∥CD分別交BC、AD的延長線于N、M兩點，連AF。設正方形ABCD的邊長為2，FN＝m（m＜2）。

由題意有CE＝1，CN＝FN＝m，EN＝1＋ m，

MF＝MN－FN＝2－m，AM＝AD＋DM＝2＋m。

在Rt△ABE、 Rt△AMF、 Rt△EFN中，

由勾股定理有：

AE2=AB2+BE2=4+1=5，

AF2=AM2+MF2=（2+m）2+（2-m）2=8+2m2，

EF2=EN2+FN2=（1+m）2+m2=2m2+2m+1。

又在Rt△AEF中，有 AE2+EF2=AF2，

∴ 5+2m2+2m+1=8+2m2，解得m＝1。

∴ EF2=2m2+2m+1=2×1+2×1+1=5。

∴ AE2=EF2，即 AE=EF。

注：上述解法中，能將正方形ABCD的邊長設為任意值a或2a嗎？有興趣的同學不妨試試。

二、變式拓展

解后反思，我們可得到以下命題：

1. 如圖4，點E是正方形ABCD的邊BC上任意一點（不與B、C重合），EF⊥AE且交∠DCG的平分線于F。求證：AE＝EF。

2. 如圖4，點E是正方形ABCD的邊BC上任意一點（不與B、C重合），EF⊥AE且EF＝AE，連CF，求證：CF平分∠DCG。

參考答案

1.提示：在AB上截取BP＝BE，連結PE，證△EAP≌△FEC即可。

2.證法與第1題類似。