模糊描述邏輯系統(tǒng)L-ALCN中的形式概念格

摘要:該文首先簡單介紹格值模糊描述邏輯系統(tǒng)L-ALCN的語法和語義，介紹形式概念分析(FCA)的基本理論。把形式概念分析引入到模糊描述邏輯中，在國際上也是剛剛起步，尚不成熟。該文定義了模糊形式背景、模糊形式概念格，并證明了此概念格為完備格。

關(guān)鍵詞: 模糊描述邏輯L-ALCN ;形式概念分析;形勢概念格;模糊描述背景;模糊概念格

中圖分類號:TP18文獻標識碼:A文章編號:1009-3044(2009)25-7219-03

Formal Concept Lattice of Fuzzy Description LogicL-ALCN

LI Jia

(College of Mathematics Science， Guangxi Normal University， Guilin 541004， China)

Abstract: First， she gives a brief introduction of the syntax and the semantics of L-ALCN system and the basic knowledge of Formal Concept Analysis. The study of Applying Formal Concept Analysis to Description Logics， in the international community is still in its infancy， not yet ripe. She Presents the definition of fuzzy Description Logic concept and fuzzy formal concept lattice. The fuzzy formal concept lattice of L-ALCN which she given are completely.

Key wodrs: fuzzy description logic L-ALCN; formal concept analysis; formal concept lattice;fuzzy description concept; fuzzy concept lattice

描述邏輯[1]是基于對象的知識表示的形式化工具，也叫概念表示語言或術(shù)語邏輯，一般情況下是一階謂詞邏輯的一個可判定子集。自從描述邏輯的提出到現(xiàn)在，國內(nèi)外許多學(xué)者對描述邏輯進行了深入研究。目前描述邏輯在語義Web[2-3]、本體[4]、數(shù)據(jù)庫[5-6]和軟件工程[7]等領(lǐng)域得到了很好的應(yīng)用。由于傳統(tǒng)的描述邏輯[1]只能對精確知識進行表示和推理，不能對不確定或不精確知識進行表示和推理，許多學(xué)者對傳統(tǒng)的描述邏輯進行了模糊化擴充，主要結(jié)果有:U Straccia對描述邏輯ALC進行了模糊化推廣，提出了模糊描述邏輯FALC[8];李言輝提出了一種支持數(shù)量約束的擴展模糊描述邏輯EFALCN[9];G Stoilos提出了模糊描述邏輯FSI和FSHIN[10];蔣運承提出了模糊描述邏輯FALNUI[11-12]和FSHOIQ[13];李淑英等提出了L-ALCN [14]。本文就是在李淑英的模糊描述邏輯L-ALCN系統(tǒng)上研究格值模糊描述邏輯L-ALCN中的概念格問題的。

形式概念分析[15]是20世紀80年代初由德國Wille教授提出的，是一種十分成熟的數(shù)學(xué)模型，特點是小而全，對信息處理算法十分清晰，不盡人意的是形式概念分析的表達能力比較貧乏，而且沒有推理機制，相比較而言，描述邏輯卻有豐富的表達力。把形式概念分析的方法引入到描述邏輯的框架中是很有意義的。本文作者閱讀了近年來國際上諸多的文獻，目前，國際領(lǐng)域上還沒有考慮將FCA引入到模糊描述邏輯框架中。

形式概念分析和模糊描述邏輯研究的基礎(chǔ)都是概念。但是概念的獲取在這兩個研究領(lǐng)域中有著顯著的不同。在形式概念分析中，首先必須存在一個形式背景，概念是由形式背景中的對象的集合和這些對象所共有的屬性集合所構(gòu)成的二元組。而在模糊描述邏輯的語義中，概念是由特定的映射(解釋)給出的，概念解釋成從解釋域到完備格的映射，通過不同個體的不同隸屬度來表達不同的概念。我們試圖在形式概念和模糊描述邏輯之間建立一定的聯(lián)系。利用形式概念分析的算法清晰等優(yōu)點來袮補模糊描述邏輯在此方面的不足。從模型或者邏輯的觀點來考慮，就是一個模糊描述背景，L是所有模糊描述公式的集合，我們稱之為屬性集合;πi為從解釋域到備值集合T 的所有映射 。我們在模糊描述邏輯的公式與映射之間建立關(guān)系，進而建立一個閉包算子，并建立一個模糊描述邏輯的概念格，同時證明了此格為完備格。

1 模糊描述邏輯系統(tǒng) L-ALCN的語法和語義[14]

模糊描述邏輯L-ALCN是由經(jīng)典描述邏輯ALCN的真值空間擴充到完備格形成的。令L=〈T，〉是一個完備格，T是備值集合， 是偏序關(guān)系，與相關(guān)的算子有和，稱為并與交。令t與f是T上的最大元與最小元，并假設(shè)存在T上的一個關(guān)于的反單調(diào)否定函數(shù)，滿足a=a，a∈T。

L-ALCN的語法

定義1. 令C是概念名集合， R是關(guān)系名集合， L-ALCN的概念是由以下的語法規(guī)則形成的:

定義2. 一個L-斷言φ是一個形如〈ac〉，〈ac〉，〈ac〉，〈ac〉或a≠b的表達式，其中a， b是ALCN斷言， c ∈T。

定義3 . L-ALCN中的知識庫∑=(T ， A)由兩部分組成， T Box和ABox。其中T Box是模糊術(shù)語公理的有限集合，模糊術(shù)語公理有概念包含AC與概念等價A=C兩種情況。 如果T =，那么∑是一個純斷言知識庫。

L-ALCN的語義

定義4. 對于完備格L=〈T ， 〉，一個L-解釋是二元組I=(ΔI，#8226;I)，其中ΔI為解釋域， #8226;I為解釋函數(shù)，其映射方式為:

個體變元d映為dI∈ΔI;

概念C映為隸屬函數(shù)CI:ΔI →T;

角色R映為隸屬函數(shù)RI: ΔI×ΔI→T

對于d∈ΔI，#8226;I必須滿足以下的方程:

定義5. 一個解釋I滿足:

1) 斷言(<(a，b):Rc>，a≠b)當(dāng)且僅當(dāng)CI(aI)c，RI(aI，bI)c， (aI≠bI)(、和的情況類似);

2) AC(A=C)當(dāng)且僅當(dāng)d∈ΔI，AI(d)CI(d) (AI(d))成立;

3) 知識庫∑當(dāng)且僅當(dāng)I滿足∑中的每一個元素，此時說I是∑的一個模型。

2 形式概念分析的基本理論

定義6. 一個形式背景(G， M， I)， G的元素稱為對象， M的元素稱為屬性， (g， m) ∈I表示對象g具有屬性m。對于形式背景(G， M， I)，在對象子集XG和屬性子集YM 統(tǒng)一定義算子*如下:

定義7. 背景(G， M， I)上的一個形式概念是二元組(X， Y)，其中XG ， YM，而且滿足X*=Y， Y*=X。我們稱X是概念(X， Y)的外延， Y是概念(X， Y)的內(nèi)涵。用μ(G， M， I )表示背景(G， M， I)上的所有概念的集合。

命題1. 如果(G， M， I)是一個形式背景， X， X1， X2是對象的子集， F， F1， F2是屬性的子集，則有下面的一些性質(zhì) :

定義8. 若(X1， Y1)， ( X2， Y2)是某個背景上的兩個概念， 而且X1X2 (等價于Y2Y1)， 則我們稱(X1， Y1)是( X2， Y2)的子概念， ( X2， Y2)是(X1， Y1)的超概念， 并記作(X1， Y1) ≤( X2， Y2)，關(guān)系≤稱為是概念的“層次序”。 (G， M， I)上的所有概念用這種序組成的集合用μ(G， M， I )表示，稱它為背景(G， M， I)上的概念格。

定理1. (概念格的基本定理)概念格μ(G， M， I )是一個完全格，其上確界和下確界分別是:

3 模糊描述邏輯系統(tǒng)L-ALCN中形式概念格

定義9.一個模糊描述背景K:，是由L和πi，以及L與πi之間的關(guān)系O組成。其中，L為L-ALCN 中所有概念描述的集合(又稱為公式集或?qū)傩约?;i=(Δi，#8226;i，T)稱為一個解釋， Δi為解釋域，是一個非空有限的集合; πi為解釋函數(shù); T 為一個解釋值域，是一個備值集合;πi為在i解釋下從Δi到T 的所有的映射的全體。對任意的P∈L，都有Pi:Δi→T。對于關(guān)系O，我們定義:若P∈L，f∈πi，如有對任意的a∈Δi，都有f(a)Pi(a)成立，則稱(P，f)∈O，否則稱(P，f)O。

若固定解釋 時，若解釋域Δi中有m個個體， T中有n個備值時，此時共有nm個映射，這樣把公式集L分成了nm個等價類。我們有P1，P2∈L，P1~P2當(dāng)且僅當(dāng)，對任意a∈Δi.P1i(a)=p2i(a)。

定義10.在一個模糊描述背景K:中，XL，F(xiàn)πi，我們統(tǒng)一定義算子#8226;*

定義11. 一個模糊描述背景K:，二元組稱為一個模糊描述概念，其中XL，F(xiàn)πi，并且有X*=F，F(xiàn)*=X，稱X為的模糊外延，F(xiàn)為的模糊內(nèi)涵。

命題2. 在一個模糊描述背景K:中，X ，X1，X2是L的子集，F(xiàn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是πi的子集，則有下面的一些性質(zhì):

證明:1)若f∈X2*，即對任意的P∈X2，a∈Δi，都有f(a)Pi(a)，又由于X1X2，所以對任意的P∈X1，都有P∈X2，即對任意的P∈X1，a∈Δi，都有f(a)Pi(a)成立，所以f∈X1*，從而X2*X1*

2)若對任意的P∈X， f∈X*，則對任意的a∈Δi，有f(a)Pi(a)，即對任意的f∈X*，都有對任意的a∈Δi，使f(a)Pi(a)成立，所以P∈X**，所以 XX**。

3)由(2)'可知XX***，由(2)XX**，再由(1)可知，X***X*

所以，X=X***

4)

另外

(1)' ，(2)'，(3)'同理可證。

定義12. 一個模糊描述背景K:，若(X1，F(xiàn)1)，(X2，F(xiàn)2)是背景上的兩個概念，并且X1X2(等價于Y2Y1)，我們稱(X1，F(xiàn)1)是(X2，F(xiàn)2)的子概念， (X2，F(xiàn)2)是(X1，F(xiàn)1)的超概念，并記作(X1，F(xiàn)1)≤(X2，F(xiàn)2)，關(guān)系≤稱為是概念的“層次序”。 K:上的所有概念用這種序組成的集合用μ(L，πi，O)表示，稱為概念格。

命題3. 若T為一個索引集，而且對每一個t∈T，XtL，F(xiàn)tπi，則

。

定理2.概念格μ(L，πi，O)是一個完備格，其上確界和下確界分別是:

，

證明:要證明μ(L，πi，O)是一個完備格，只須證明對μ(L，πi，O)中的任何子集都有上確界以及下確界，設(shè){(Xt，F(xiàn)t)|t∈T}是μ(L，πi，O)的一個子集，要證明就是它的下確界，即我們證明一定是概念，以及一定是這個集合的下確界。

首先，由于每個(Xt，F(xiàn)t)是概念，所以Xt=(Ft)*，于是，又由以上的命題，，這樣 ，這顯然是(F*，F(xiàn)**)的形式，一定是一個形式概念。

其次，由于是每個Xt的子集，所以是每個(Xt，F(xiàn)t)的子概念，所以是 的一個下界，又因為{(Xt，F(xiàn)t)|t∈T}的任何一個下界(X，F(xiàn))都是X是所有Xt的子集，于是必有，即必有，所以是{(Xt，F(xiàn)t)|t∈T}的下確界。

同理可證一定是{(Xt，F(xiàn)t)|t∈T}的上確界。

4 結(jié)束語

本文是在基于格值模糊描述邏輯L-ALCN下討論的概念格，將形式概念分析應(yīng)用到描述邏輯上目前比較新的課題，本文也是在這種思想的指導(dǎo)下完成的。但是只是建立了模糊描述背景下的模糊概念格遠不能達到這種要求，仍需要進一步進行模糊描述背景下的蘊含式等理論的研究。

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