課堂討而不論，教學焉得實效？

摘要：課堂討論是體現學生學習主體性的重要方式，它為學生思維和能力的發展提供了廣闊的空間，但實際教學中仍有“討而不論”的現象。本文針對一個案例進行商榷，提出了讓課堂討論“既開花，又結果”，真正講求討論實效性的建議。

關鍵詞：教學商榷；課堂討論

中圖分類號：G623.42 文獻標志碼：A 文章編號：1673-4289（2009）02-0059-03

課堂討論是現代教學改革中體現學生學習方式的重要手段。它可以活躍課堂氣氛，改革和優化課堂教學結構，使學生在相互討論中發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，為學生思維和能力的發展提供廣闊的空間。同時，對教師的教學境界、教學智慧也能起到很好的發展作用。但縱觀目前的課堂教學，尤其是一些公開課中，我們仍能看到不少課堂討論“只開花不結果”的現象。下面就筆者最近聽到的一堂公開課，同大家進行商榷。

【案例實錄】

1.呈現問題

（教師投影，學生閱讀）研究簡諧振動中的很多運動關系都涉及到數學三角函數性質的應用。其中，質子的位置關系就涉及到振幅問題。而怎樣求任意質子運動的振幅，就曾經難倒過一大批物理學家。曾經有一位物理學家在研究振動質子位移y與時間x的關系時，得到關系式y=2sin(x+)cosx，他想求出當時間x為何值時，振幅y取得最大值。同學們能否發揮聰明才智，解決這個問題呢？

2.探究問題

師：可以看書，可以相互研究。

（同學們閱讀后，討論很激烈，躍躍欲試。）

生1：可以直接利用積化和差公式進行求解。

師：這位同學領悟的很快，把我們這節課的結果都說出來了，不錯，請坐。

生2：我猜想，當x=+2k時，y的最大值是2，因為函數y=2sin(x+)的最大值問題我們就是這樣解決的。

生3：他的猜想不正確，因為這兩個函數是不一樣的。

生2：以往我們解決這類問題都轉化為y=Asin(x+)+B來處理，但現在我轉化不了，所以就把它看作y=2sin(x+)來處理了，就得到了剛才的結論。

師：很好，大家都開動了腦筋。還有什么其他解決方法嗎？

生4：我的思路和生2的相同，但我是這樣處理的：

y=2sin(x+)cosx

=2（sinxcos+cosxsin)cosx

=sin2x+cos2x

=sin2x+cos2x+

轉化到這一步，就無法繼續進行下去了。

（此時，不少學生表現出和生4同樣的困惑。）

師：思路很好，如能繼續進行下去就更好了！同學們還有什么新發現，說出來大家共同欣賞一下。

生5：我發現y=2sin(x+)cosx中的兩個角有關系：x++x=2x+，而x+-x=，如能用這兩個角的和或差的三角函數來表示y=2sin(x+)cosx，問題就可以轉化為y=Asin(x+)+B來處理了，可是我不知道如何進行這一轉化。

師：想法很妙！我們來共同探求如何用x+與x的和與差的三角函數來表示y。

教師投影：

(1)sin(+)=sincos+cossin

(2)sin(-)=sincos-cossin

(3)cos(+)=coscos-sinsin

(4)cos(-)=coscos+sinsin

師：物理學家遇到的問題較為復雜，我們先來研究類似的簡單問題。

投影：求2sin75cos15的值。

生6：通過查表進行求值。

生7：根據投影上的公式(1)和(4)，得：

2sin75cos15=2sin(45+30)cos(45-30)

=2××=1+

將75、15拆成45和30的和與差。

生8：直接利用75、15的正弦、余弦值代入，可求出同樣的答案。

2sin75cos15

=(sin75cos15+cos75sin15)

+(sin75cos15-cos75sin15)

=sin(75+15)+sin(75-15)

=1+

生9：我發現sin(75+15)與sin(75-15)的展開式相加正好是2sin75cos15。

3.解決問題

師：同學們的解法都很好，都抓住了角的特點解題，請大家比較一下，誰的解法最好？

學生又一次展開熱烈的討論，最終達成一致：生9的解法最好。生7的解法雖然與生9的解法類似，但生9逆用了公式(1)(2)，不僅簡單解決了求2sin75cos15的值，而且具有一般性，可以把

y=2sin(x+)cosx轉化為y=sin(x++x)+sin(x+-x)，使問題得到解決。

學生練習：求2sin52.5cos7.5的值。

（學生很快利用上述思想得到了答案。）

教師再次啟發學生：從運算形式上來看，這種方法有什么獨到之處？

生10：這個過程把積的運算轉化為和的運算。

師：對，很好！這個過程把二級運算轉化為一級運算，簡化了計算過程，如2sincos也能轉化為和的運算，就更有意義了，能實現這個目標嗎？

教師再次把公式(1)～(4)投影，有了前面的鋪墊，學生馬上想到公式(1)+(2)就得到公式：

2sincos=sin(+)+sin(-)

仿照同樣的辦法，學生很快將cossin，coscos，sinsin的公式都推導出來了。

4.拓展問題

反思研究的過程與結果，梳理并加深學生的認識。

適度拓展，引發學生進一步思考：

（1）能用三角函數的積化和差公式推導出三角函數的二倍角公式嗎？

（2）在以前學過的數學知識中，哪些知識可以把積的運算轉化為和差的運算？

【案例商榷】

總體來說，這節課基本體現了新課標所倡導的新理念：主體思維、過程教學、交流互動、啟發引導、情感體驗、課堂氣氛活躍，學生的思維參與程度高。這里既有值得我們借鑒和汲取的有益經驗，但不可否認也存在一些不當之處值得我們進一步商榷。我想，做這樣的課后商榷工作，對實際教學的有效開展會有很大幫助的。

1.教師在問題情境呈現之后，直接讓學生看書、閱讀，這樣做是否合適？既然讓學生探究，本就是從未知向已知的探索過程。學生經過看書，就會在探究之前知道結論，就會用已有的結論來解答教師開始提出的問題（如生1的回答），那么后面的探究設計顯然顯得“多余”了。這顯然與探究學習的初衷相背。因此，課前不預習、課上不看書是值得商榷的。或許，有的教師會說，課上可以不讓學生看書，但誰能保證學生課前不預習呢？不可否認，這是非常實際而尖銳的問題。由此想到，史寧中教授講過的，“我們要尊重教育，要站在受教育者的立場思考。”他說：“知識分三種：一種是教了也不會的知識，一種是不教也會的知識，一種是教了就會的知識。我們做教師的，應該選擇教了就會的知識。”多么精辟而深刻的語言。就這節課而言，如果說有的學生在課前預習了積化和差公式，使教師在呈現問題之后，直接利用公式給出答案，也即學生“不教就會”，教師該怎么辦？我想，這倒是個很好的機會，教師要善于應變，變被動為主動，繼續對學生進行啟發誘導：你知道這個公式是怎么來的嗎？它有什么特點嗎？適用于什么問題？怎樣去記憶這個公式？等等。通過這些問題，教師仍能繼續引導學生進行思維發展與解決問題的預設和生成，教學目標仍可以很好地達成。

2.案例中，學生4轉化到y=sin2x+cos2x+后無法繼續化下去，教師對此只是說“思路很好，如能繼續進行下去就更好了。”就這樣輕輕帶過，繼而話鋒一轉，問其他同學有什么新發現。我認為，此處的處理有些草率了。既然教師讓學生討論了，學生也激烈地討論了，可討而不論，使學生因討論而生的“思維的火花”即刻被“撲滅”了。這對課堂討論的實效性大打折扣。教師回避學生思路，可能是怕偏離了預先規劃好的設計主線，尤其是公開課中更是“不敢放開手腳”，所以很多“討”得的問題，“討”而“不論”。其實，教師缺乏的是教學機智，對于課堂中出現的“界外球”，教師不應回避。我們不妨順著學生的思路繼續發現，學生完全可以利用已經學過的兩角和與差的三角函數公式的逆用，得到：

y=sin2x+cos2x+

=sin2xcos+cos2xsin+

=sin(2x+)+，

從而使問題得以解決。

3.對于學生5的回答，教師也肯定其“想法很妙”，同時順著學生5的思路，提出“我們來共同探求如何用x+與x的和與差的三角函數來表示y”，在投影上給出四個和角、差角公式，至此，只要繼續引導學生觀察、計算，學生就很快會想到：

sin(x++x)=sin(x+)cosx+cos(x+)sinx，

sin(x+-x)=sin(x+)cosx-cos(x+)sinx，

兩式相加，容易得到：2sin(x+)cosx=sin(x++x)+sin(x+-x)=sin(2x+)+，再因勢利導，不難得到2sincos=sin(+)+sin(-)。這樣，不僅開始的問題得以解決，而且還“意外”地發現了積化和差公式，教學過程逐漸走向高潮，顯得合理、自然。但此案例中教師的處理顯得有些牽強，投影公式之后，話鋒再次一轉，“物理學家的問題比較復雜，我們先研究類似的簡單問題——求的值。”教師的本意可能是想在教學中體現由特殊到一般的數學思想，但在此處是不合適的。教師這樣“一轉”，學生的思路被打斷了，而對這個解法多樣的問題又得重新思考。這極大地影響了學生解題的目的性。事實上，求的值的方法有很多，并有更簡捷的方法，可教師的處理使積化和差的公式變得更不容易，變得更費周折，學生的思維也被擾亂了。

從以上的三個方面看，表面上教師發揮學生的主體性和主動性，讓學生自由討論，可當學生討論出問題或思路之時，教師采取的是回避等消極應對策略，一味地按照自己預設好的思路往下走。這使我們在聽課之時內心產生“課堂討而不論，教學焉得實效”的疑問。所以，在實際的數學教學中，教師如何在有限的課堂教學時間內充分調動學生的討論熱情、切實提高討論的實效性，關鍵在于教師課前的多費思量、課上的靈活機智，真正使課堂上的師生對話、學生交流成為一道有內涵的亮麗風景。

（作者單位：淄博師范高等專科學校，山東，淄博 255100）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。