沒有最小 只有更小

摘要：聽潘小明老師的課，最大感觸就是他在課堂伊始總能設計一個讓多數學生甚至全班學生都“順理成章”“理所當然”地出錯的問題，然后教師圍繞這個問題引導學生舉例驗證發現錯誤，進而激發學生探究正確答案的需求和欲望，從而有序地展開本節課的教學。

關鍵詞：教學賞析；研究錯誤；引導思維

中圖分類號：G623.56 文獻標志碼：B 文章編號：1673-4289（2009）02-0054-03

聽潘小明老師的課，最大感觸就是潘老師總是能留給學生最大的思維空間，讓學生的思維得到最大限度的訓練和開發，凸顯數學課的有效性。

巧設圈套學生出錯

出現錯誤：本節課的教學，潘老師是圍繞兩根鐵絲展開的。開課伊始，潘老師出示兩根不同顏色的鐵絲：一根長20厘米，一根長24厘米。用這兩根鐵絲圍成一個長方形，哪根鐵絲圍成的面積大？憑直觀感受，所有學生不假思索就斷定24厘米長的鐵絲圍成的長方形面積大，于是潘老師順水推舟得出結論并板書：周長長的長方形面積就大。學生胸有成竹，自得其樂。

【賞析】其實，學生哪里知道，這下他們正中了潘老師的“圈套”。這一效果也正是他蓄謀已久的，是他所希望看到的。（用他自己的話說就是“希望學生出錯”）因為這正是他備課中所預設的，而且每次備課為了能找到讓學生出錯的問題源，他往往會寢食難安，本課這一教學素材就是他在學校就餐時靈感突現，并現場咨詢一位非數學教師得以驗證的。當時老師也認為“周長長的長方形面積就大”，他暗喜：咦，老師都說錯了，何況學生呢？因此這才一錘定音，把這一問題作為本節課的“拿手戲”登臺亮相。

提出疑問：初戰告捷，當學生正為自己的勝利成果高興之時，教師提出了疑問：有沒有驗證過？學生：沒有！這時潘老師來了“勁頭”以挑釁的語氣說道：“那就沒道理了，數學是最講道理的！”（這里暗示著學生的結論可能有問題，挑釁的語氣是為了激起學生探究的欲望）

舉例驗證：學生果真感覺出有些不對勁，意志不再堅定，開始動搖。這時，老師乘勝追擊：想不想驗證？學生躍躍欲試。怎樣驗證？學生：用兩根鐵絲圍一圍，量一量、算一算就知道了。根據這一思路，學生開始驗證（多數學生只圍了一種情況進行驗證）。結果，根據列舉的數據，多數學生還是認為“周長長的長方形面積就大”這句話是對的，只有少數學生認為不對。這樣出現了兩種不同的聲音，于是老師從兩種觀點中各選取一組數據板書如下：

發現錯誤：結合具體數據，教師顯出很為難的樣子：這樣就出現兩種答案了：①√；②×。現在，你對這句話（手指板書：周長長的長方形面積就大）有什么想法？

生1：這句話有時候對，有時候不對。

生2：你就看它圍成什么樣的……

生3：周長長的長方形面積不一定大。

師：由此，你又想到了什么？

生4：半對半錯——第③種答案

師：這就難辦了，現在又成了三種答案了。現在你認為哪種說法對？

沒曾想，多數學生選擇了③，看來學生對判斷一個命題的正確與否還沒有形成正確的認識。潘老師發現這種情況后及時調整了思路，從學生熟悉的生活情境中選取素材解釋說明：請第一排的同學站起來（3名男生，3名女生）。然后他指著其中3個男同學說：第一排站起來的都是男同學。這時，學生有不同意見了，紛紛舉手要求發表自己的看法。他故弄玄虛地指著那3個男同學理直氣壯地說：第一排都是男同學，這不是對的嗎？這時坐在第一排的一位女同學按捺不住了，急忙起來申辯：他們3個都是男同學是對的，那我們（指著第一排的3名女同學）3個呢？我們也是第一排的，但我們不是男同學。所以說“第一排站起來的都是男同學”這句話是錯誤的。看來對這一從生活情境中抽取的命題，學生是真正理解了。于是潘老師趁熱打鐵，及時引導提升：看來對判斷一個命題的正確與否，我們可以用舉反例的方法，只要找到一個反例就能說明這個命題是錯誤的。

糾正錯誤：接著潘老師引導：那“周長長的長方形面積就大”這句話對還是錯？學生異口同聲：錯！教師進一步追問：錯在哪兒？學生認為這句話的錯誤就出在這個“就”字上，“就”是“一定”的意思，而這里周長長的長方形面積有時大有時小，而不是一定大，所以這句話是錯的。最后，經過一翻討論，大家一致認為把“就”改為“不一定”就可以了。教師在黑板上作了修改符號，使命題變為：周長長的長方形面積不一定大。

【賞析】在此環節中，潘老師首先提出了僅憑直觀很容易出錯的問題，為學生設下了一個“陷阱”與“圈套”——憑直觀感受和現有知識基礎，學生會認為“周長長的長方形面積肯定會大”。并且全班學生的答案出奇地一致，多數學生沾沾自喜，自認為集體的力量大。其實他們哪里知道，這其實是老師給他們設計的一個陷阱，正等著他們往里跳呢。這樣就真正達到了潘老師所說的“希望學生出錯”的目的。接著，老師的一句“驗證過嗎？數學是最講道理的。”一石激起千層浪，學生們開始拿手中的鐵絲舉例驗證。學生們圍圍、算算這一操作、驗證的過程不是簡單地為操作而操作，而是為促進學生的思維發展而操作，是有價值有意義的操作。正是因為通過各自的操作，得出的不同數據才會引發矛盾和認知沖突，但是由于學生的知識基礎和已有生活經驗有限，學生對“周長長的長方形面積就大”這一命題的判斷出現三種答案——①對；②錯；③半對半錯。此時，教師駕馭課堂的高超藝術再次展現：老師沒有一點的慌張和著急，而是從學生身邊尋找素材幫助學生理解，這樣有了生活情境的直觀演示，學生很快就理解了對判斷一個命題正確與否的方法，并明白了錯誤的原因。更為重要的是，在這一舉例驗證的過程中，教師還教給學生一種解決問題的策略及方法。

有序思維逐步完善

當學生對“周長長的長方形面積不一定大”這一結論沒有任何異議之后，教師追問：周長相等的長方形，面積會怎么樣？——相等嗎？“吃一塹，長一智”，這次學生不敢再馬虎大意，妄下結論，而是經過認真的思考后，非常堅定地說：不會！并且有一名學生主動舉一反例驗證（學生能將所學到的解決問題的方法隨堂加以運用，這也是本節課的成功和亮點之處）。

周長24厘米的長方形

結論：周長相等，但面積不相等。

師追問：周長相等，面積不一樣，這是什么原因造成的？

生：長和寬不一樣。

師：看來，跟長和寬有關系，長和寬怎么樣了，它的面積就大了？

對這一問題，學生沒有深入地思考，教師及時指導學生進一步舉例驗證。于是，一會兒工夫，學生列舉了很多數據。（周長相等，隨著長、寬的不斷變化面積也在發生變化的數據，但是沒有次序，這樣不利于學生有序思維的培養）

教師蠻有挑戰性地問：沒了，還有嗎？學生一致認為確實沒有了。（從這里可以看出，這批學生對有關長方形周長和面積的關系的研究，沒有一點基礎，更缺少有序思維的意識和能力，而且對“正方形是特殊的長方形”這一關系的理解也不到位）

結合學生實際，教師補充：“長6，寬6，面積36”這一特殊數據。

數據全了，但單純列舉一些數據并不是目的。于是潘老師適時提出了探究的主題：現在能發現長方形的面積與它的長和寬有什么關系嗎？學生的反應不強烈。于是教師及時梳理以上數據，板書如下：（這樣就培養了學生有序思維的習慣）

當教師再次提出“長方形的面積與它的和和寬到底有什么關系”時，立馬有幾個反應快的學生舉手示意發現了規律。

但是多數學生還處于“憤”與“悱”的懵懂狀態，一時還不知該如何用語言來描述發現的規律。這時教師及時組織學生交流，而后匯報：

生1：長越小，寬越大，面積就越大。（這只是表面現象，該生沒有深入分析）

生2：長和寬的數字越接近，面積就越大。（進行了全面分析，思維層次較第一個同學有所提升。）

師追問：什么叫“長和寬的數字越接近”？（教師在關鍵處設疑，是為了引發其他學生的思考，幫助學生進一步理解這句話的意思。）

生：就是說長和寬的差越小，比如6－6=0。（生舉例說明）

師進一步提問、補充并板書：11－1=10，10－2=8，9－3=6，8－4=4，7－5=2。在所有學生都充分理解的基礎上，得出結論：長和寬相差越小，面積就越大。

而后他又向學生提出了具有思考性的問題：當長和寬相差越小，它就越接近什么形了？

“正方形！”（生對答如流）

在此基礎上，教師揭示規律并板書：周長相等的長方形，當長和寬越接近，面積就越大；當長和寬相等時，面積最大。

【賞析】潘老師的獨到之處還在于，他不是把結論直接告知，而是讓學生通過列舉一些具體數據，自己發現并悟出道理。更可貴的是他仍不滿足于讓學生掌握某個結論，明白某些道理，而是教給學生一種有序思維的大數學觀，盡可能地使學生對知識的理解更加系統、更加完整、更加深入、更加全面。

窮追不舍層層逼近

按照一般老師的教法，對這一知識點的理解和掌握，能讓學生認識到以上程度，就算很完美了。但是，潘老師并沒有滿足，而是窮追不舍，層層逼近，提出了如下更能引發學生思考的問題，使學生對該問題的理解上升了一個層次。

由此，你又想到了什么？有什么問題嗎？

學生回答：周長相等的長方形，長和寬相差越小，面積就越大。周長相等的長方形，長和寬相差越大，面積就越小。

師：當小到什么時候，面積最小？

生：當小到寬是1時，面積最小。

師：同意的舉手。

沒人舉手！（這時不是學生真的不同意那個同學的觀點，而是有了前面的“上當”“受騙”，沒有真憑實據的他們不敢再妄下結論了，所以就保持沉默。）潘老師似乎也看出了這一點，于是提示學生：討論一下，討論一下。

【賞析】潘老師的教學藝術就在于他在課堂上心中裝著的全是學生，把所有的精力完全集中在學生身上，能及時根據學生對知識的掌握情況作出適當的調整，實施不同的教學策略。當他發現學生理解起來有困難時，不是硬牽著學生的鼻子走，而是組織學生討論一下，交流交流，簡短的話語卻讓學生即將失重的思維天平又一次次趨于平衡。這種尊重學生之間的差異，并且使師生、生生之間的互動作為縮短學生之間差異的妙方和良策，確實是一種藝術。

討論之后，一個同學起來發言：老師，我認為它永遠也小不完。

潘老師鼓勵他舉例說明，于是學生列舉了幾個長和寬都是小數的例子，在他的啟發下，其他學生也紛紛舉例驗證，且數據相差越來越大，師及時梳理并板書：

這樣的例子還多著呢，說也說不完，于是教師補充：還可以繼續小，小到什么程度？——沒有最小，只有更小！

“沒有最小，只有更小”這一經典的話語，給聽課老師以啟迪和引領：對教材內容我們應挖掘到什么程度，才算是真正在訓練學生的思維，真正在培養學生的大數學觀。潘老師給我們指明了前行的方向，“雖不能至，心向往之”。在以后的課堂教學中，我們也應努力深挖教學內容和教學素材，在“對教材理解，對學生了解”的基礎上真正做到“抬起頭”“往下看”，并盡可能地挖掘教材之外、之上的潛在的、隱含的知識點，拓展學生的知識領域，使知識更加系統，更加深入。真正使數學課成為以訓練學生的數學思維為目標的教學，真正上出數學課的數學味道。

（作者單位：墾利縣第一實驗小學，山東，東營 257500）