數學最值問題方法探討

在歷年的高考試題中，涉及最值問題的時有出現，這應該引起我們的重視.下面就最值問題的常規處理方法進行探求與歸納.

1. 數形結合法

通過挖掘問題的幾何意義，構造出問題的幾何模型，以形助數，可以大大的降低問題的運算量，提高解題速度.

例1已知復數Z滿足|Z-3+4i|=4，求|Z|的最值.

解:由|Z-3+4i|=4可知復數Z表示以M(3，-4)為圓心，半徑r=4的圓，而|Z|表示圓上的點到原點的距離，如下圖所示.

|OM|==5

|OA|=|OM|-|AM|=5-4=1

|OB|=|OM|-|MB|=5+4=9

∵1≤|Z|≤9

∴ |Z|的最小值1，最大值為9.

2. 換元法

換元法是指引入一個或幾個新的變量代替原來的某些變量，對新變量求出結果后再返回求原來結果的一種方法.

例2求y=2x+的最值.

解:令=t(t≥0)，則2x=1-t2

∴ y=-t2+t+1=-(t-)2+

∴當t=時，ymax=，無最小值.

3. 不等式法

主要是利用均值不等式或其變形式來求最值的一種方法.

例3設x和y都為正數，且滿足x2+=1，求x的最大值.

解:由x2+=1，得y2=2-2x2(0

∴ x==≤

當且僅當2x2=3-2x2即x=時等號成立.

∴當x=時，x有最大值.

4. 函數單調性法

利用此法是求最值的常用方法，解題時必須先確定函數的單調性，然后再利用單調性來求最值.

例4 求y=-的最值.

解:其定義域為x≥2

∴ y=-

=

由于y=在其定義域內單調遞減，且當x=2時，y有最大值，無最小值.

5. 判別式法

如果函數y= f(x)化為a(y)x2+b(y)x+c(y)=0(a(y)≠0)的形式且可以從Δ=b2(y)-4a(y)·c(y)≥0求出y的取值范圍時，可用此法.運用此法時要特別注意，在求出y的取值范圍后，應將端點值化回原函數進行檢驗，防止產生“增值”現象.

例5求y=的值城.

解:原函數的定義域為R.

∴(y-1)x2+(3y+3)x+(4y-4)=0

當y≠1時，上式必有實根Δ=(3y+3)2-4(y-1)(4y-4) ≥0

∴≤y≤7(y≠1)

又∵當y=1時，x=0;而x=0在定義域內.

∴原函數的值域為{y│≤y≤7 }.

6. 導數法

若函數 f(x)閉區間[a，b]上是連續函數，則 f(x)在該區間上有最大值與最小值.

例6求 f(x)=ln(1+x)- x2在[0，2]上的最值.

解: f ′(x)=-x，令f ′(x)=0，得-x=0

∴ x1=1，x2=-2(舍去)

當00，故f(x)為單調遞增.

當1

∴ f(x)在[0，2]的最大值為

f(1)=ln2-.

而f(0)=0，f(2)=ln3-1=ln3- lne>0.

∴ f(0)=0為f(x)在[0，2]上的最小值.

責任編輯羅峰