數學中的類比

類比是根據兩個不同的對象，在某些方面(特征、屬性、關系等)的類同之處，猜測這兩個對象在其它方面也可能有類同之處，并作出某種判斷的推理方法.類比可分為兩種:從對象的某種屬性相同，推出它們的其他屬性相同——稱為簡單類比;從現象的相同可以得出原因相同得結論——稱為普遍類比.由類比得到的結論，具有或然性，通常把得到的正確結論的類比稱為“有益的類比”，反之稱為“有害的類比”.例如長方形類似于長方體——長方形各邊之間的關系類似于長方體各棱長之間的關系(“形”的一邊與另一邊平行且相等，同其余兩邊垂直;“體”的一棱與三棱平行且相等，而同其余各棱垂直;“形”的面積公式s=ab與“體”的公式v=abc從形式到推導都相似;“形”的對角線長度為，“體”的對角線長度為，等等).若把a(b+c)=ab+ac的類推到lg(b+c)=lgb+lgc，sin(B+C)=sinB+sinC，就成為“有害的類比”.因此，類比結論正確與否，需經嚴格證明.

類比法在數學中應用廣泛.數與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、相等與不等、有限與無限之間有不少結論，都是先用類比法猜想，而后加以證明的.在數學教學中廣泛應用類比法，能激發起學生參與研究數學發現的規律的興趣，有利于在思維中把知識和技能從已知對象轉到新的未知對象中去.為此，我在教學中會有意識地訓練學生的類比推理的能力，下面以初二平面幾何課為例談談.

例1三角形有定理:若兩個三角形各角對應相等，則它們相似.提問:四邊形有沒有類似的定理?引導學生猜測:若兩個四邊形各角對應相等，則它們相似.這是一個似是而非的問題，自然要求學生判斷真假:以它為真，卻找不到證法，以它為假的努力找反例:正方形與鄰邊不等的矩形，它們的各角都等于90°，但對應邊不成比例，因而不相似.

例2試把例1 中類比所得假命題的條件加強，使之成為真命題.

由例1得到的命題之所以假是因為少了邊的關系，引導學生要增加關于邊的條件，而且是增加比例式的條件，但要增加幾個?不妨嘗試先增加一個比例式.

設∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1.

先加=試試.因為∠A=∠A1，想起三角形相似的判定定理2，引發連結B D、B1 D1的靈感，并推出△ABD∽△A1 B1 D1，則∠1=∠3，∠2=∠4.因為∠B=∠B1，∠1=∠3，故∠5=∠7，同理∠6=∠8，則△BCD∽△B1 C1 D1，因而===，故四邊形ABCD∽四邊形A1 B1C1 D1，結果成功了.再試圖加=一類的比例式，但沒有成功，因而可得到真命題:若兩個四邊形的對應角依次相等，且一組對角的兩邊對應成比例，則兩個四邊形相似.

例3設在四邊形ABCD和四邊形A1 B 1C1 D1中，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1，=，且對邊不平行.求證這兩個四邊形相似.

證明:作AE∥CD，A1E1∥C1D1且AE=CD，A1E1=C1D1，連結BE、CE、B1E1、E1C1.顯然四邊形AECD和四邊形A1E1C1D1都是平行四邊形.

∵∠D=∠D1.

∴∠1=∠2，又∠A=∠A1，則∠3=∠4.

又∵==.

∴△BAE∽△B1A1E1.

則=，∠ABE=∠A1B1E1(1).

因而，∠5=∠ABE-∠ABC

=∠A1B1E1-∠A1B1C1

=∠6.

∵∠7=∠ECD-∠BCD

=∠1-∠BCD

=∠2-∠B1C1D1

=∠E1C1D1-∠B1C1D1

=∠8

則△BAE∽△B1A1E1

因而=(2)

由(1)(2)推出=.

由例2結果推出四邊形ABCD∽四邊形A1 B1C1 D1.

例4三角形有定理:若兩個三角形各邊對應成比例，則它們相似.提問:四邊形有無類似的定理?引導學生猜測:若四邊形各對應成比例，則它們相似.

對于這個似是而非的問題，有了前面例1的經驗，可找出反例:正方形和無直角的菱形，它們的邊可以對應成比例，但它們可以不相似.接下來，自然而然地要考慮:

例5試把例4類比所得的假命題的條件加強，使之成為真命題.

有了例2的經驗，可想到增加關于加的假設，并且先考慮增加一組對應角相等.

設===，另增加∠A=∠A1.

把例2的解法類比過來:連結BD，B1D1，可證明△ABD∽△A1B1D1，因而∠1=∠3，∠2=∠4，=.

∵===

∴△BCD∽△B1C1D1

因而∠5=∠7，∠6=∠8，∠C=∠C1

則∠1+∠5=∠3+∠7，∠2+∠6=∠4+∠8，故∠B=∠B1， ∠D=∠D1.

則這兩個四邊形對應成比例且對應角相等，因此四邊形ABCD∽四邊形A1 B1C1 D1.

責任編輯羅峰