直面認知差異找準學習起點

王逸卿

“數學廣角”是人教版教材中新增加的一個內容。主要是系統而有步驟地滲透數學思想方法，嘗試把重要的數學思想方法通過學生可以理解的簡單形式，采用生動有趣的事例呈現出來。通過觀察、操作、實驗、猜測、推理與交流等活動，初步感受數學思想方法的奇妙與作用，受到數學思維的訓練，逐步形成有序的、嚴密的思考問題意識，同時使他們逐步形成探索數學問題的興趣與欲望。數學思想方法比數學知識更抽象，呈現形式比較隱蔽。“數學廣角”的內容相對于其他單元的內容來說思維的難度大一些。

基于對教材這樣的理解，試教“數學思考”一課的時候，我是這樣設計的：

一、導入新課：

1同學們，我們來做一個小游戲，請你們拿出紙和筆。在紙上任意點上7個點，并將它們每兩點連成一條線，再數一數。看看連成了多少條線段。

2同學們，有結果了嗎?

(估計學生會有不同的結果，要數清楚21條線段是比較困難的)

你感到有什么困難?

(比較多，比較亂)

37個點比較多，如果點少一些，可能比較清楚是嗎?

二、探究規律：

1你覺得少到幾個點，你就沒問題了?

(估計學生會說2個點肯定沒有問題!)

2那就先來2個點，可以連幾條線段?

(板書：點數：“2”，總數“1”條)

3如果增加一個點，3個點了，一共可以連幾條線段?

(板書：點數：“3”，增加“2”總數“3”條)

[課后思考]

試教下來，學生的思維過程與教學設計相距甚遠。預設中，學生的學習會遇到困難，教學的步子需要小一些，引導需要多一些。但課堂上，當我問道：“同學們，有結果了嗎?”第一個學生的回答：“有21條!”第二個學生同樣回答：“有21條!”當有一個學生怯生生地說：“有7條”的時候，馬上有學生起來反駁：“7條是不對的，應該是6+5+4+3+2+1=21條。”學生竟然這么輕易就解決了問題，而我接下來的引導顯得非常生硬：“是21條嗎?誰畫出來了，上來數數看!”“如果點少一些，可能比較清楚，是嗎?”學生顯然對于我回避正確的解法，硬是從兩個點開始畫起興致不高。

學生為什么對于教師的一步步引導興致不高?學生的知識基礎到底是怎樣的?

帶著這樣的思考。我在另一個班級做了一個課前調查，在教師沒有任何提示的情況下讓學生嘗試解決例題：“兩個點之間可以連1條線段，那么7個點可以連多少條線段呢?”雖然，我已經感覺到可能會有很大的差異，但是結果還是讓我比較吃驚：59人的一個班級：有25位同學已經能夠列出“6+5+4+3+2+1=21條”(其中兩位同學算錯)，有7位同學列出“6×7=42條、42+2=21條”，有10位同學是畫圖的方法(其中六位同學畫錯)，只有兩位同學的列式為：“1+2+3+4+5+6=21條”，而有17位同學幾乎是無從下手，思路都不對。

學生的差異是客觀存在的，在其他數學知識的新授過程中，我們也發現總有學生在嘗試練習中已經能夠解決問題。不過，“數學廣角”中學生的差異顯然更大，“6+5+4+3+2+1=21條”這種方法體現了在解決排列組合問題時有序思考的價值，在許多學生的腦海里已經根深蒂固，我們也的確感到了這種方法的優越性。不過，教材編寫的目的，不僅僅是解決這個問題，更為重要的是希望學生能夠理解和掌握“化繁為簡”的思想方法。

基于對學生這樣的認識，正式執教“數學思考”一課的時候，我是這樣設計的：

一、導入新課，探究規律

1數學離不開點、線、面，“線段”大家一定不陌生，一條線段有幾個端點?

反過來，兩個點之間可以連一條線段。(媒體顯示)

2那么，如果現在有7個點，每兩個點之間連一條線段，一共可以連多少條線段?

先把你的想法寫在草稿紙上，然后跟同學交流交流!

3有序展示學生的思維：

(1)呈現寫有“6+5+4+3+2+1=21(條)”的學生作業本，指名說出思路。

(從1個點出發，可以跟其他的6個點都連1條線段，這個點與其他幾個點都連過了，第二個點就與這個點不連了，跟另外5個點共連5條線段，依次類推，所以一共是6+5+4+3+2+1=21條)

(2)呈現寫有“6x7÷2=21(條)”的學生作業本，指名說出思路

(每個點都可以與其他6個點連一條線段，一共是42務，因為兩個點之間的線段都算了2次，所以除以2)誰聽明白了?你也來說一說!

(3)呈現“畫圖的方法”的學生作業本：

你能數一數自己畫了幾條線段嗎?感覺怎樣?

(學生一般覺得數起來比較困難，甚至會數錯!)

看來7個點的時候，要想數出來已經很困難了1100個點呢?老師覺得畫圖也是能夠畫清楚的!你有辦法嗎?

(可以編編號，可以先少畫幾個點……)

我們來試試看!

①(畫2個點)兩個點之間可以連幾條線段?

(兩個點可以連1條線段，板書：點“2”總數“1”)

②(點出第三個點)3個點呢?誰來畫畫看?

跟原來相比發生了什么變化?(比2個點時增加了2條線段)

誰來畫畫看?增加的用紅色表示。

為什么會增加兩條線段?

(原來有2個點，增加的點與原來的2個點都可以連一條線段，所以增加了2條線段。板書：點“3”增加“2”總數“3”)

……

[課后反思]

教學一開始就是一個開放的設計：“先把你的想法寫在草稿紙上，然后跟同桌交流交流!”讓學生嘗試，暴露學生原有的思維狀態，了解學生的學習起點。許多學生已經能夠用“方法一”和“方法二”解決問題，而他們也堅信自己是正確的，急于表達自己的想法。這時候，我們不應該禁錮學生的思維和表達的意愿，因為他們有更便捷的方法，顯然會對“從2個點畫起”這種“繁瑣”的方法沒有興趣，對于大多數的學生而言，我試教中設定的教學起點偏低，不符合他們的認知起點。回避學生的方法只會讓他們感覺自己還有更好的方法，始終沉浸在自己的方法中。對其他方法沒有興趣。只有讓他們把自己的想法先表達出來，再來理解其他的方法才會滿足他們表達的愿望，激發他們的興趣。因為這時候，“從2個點畫起”就成為又一種新方法，需要思考和理解，學生自然又有了興趣。

[對比思考]

回顧兩次教學活動，第一次試教中比較多地關注教材的分析：“隱蔽”、“更抽象”、“難度大”都是研讀教材獲得的。而第二次教學中更多側重對學習對象的分析，學生對這部分知識巨大的認知差異是在分析學習對象中發現的。

我們都知道如今課外奧數輔導可以說是鋪天蓋地，這一點是我們沒有辦法回避的現實。于是，我們可以肯定學生認知與課內知識之間有差距，而與數學廣角的差距就更大了，有的學生是零起點，可以說一片空白，有的學生早已爛熟于胸，比課本知識學得深得多。在“數學思考”一課的教學中，我們既不能回避學生已有的認知水平，又不能忽視本課要向學生滲透的“化難為易”的數學思想。畫圖雖有局限性，點數增多的時候，畫圖就會變得很困難。但是，畫圖也是解決問題的一個好辦法，我們可以在畫圖中找到規律，解決問題，這是畫圖的重要價值，通過分析畫圖的過程也很好地滲透了“化難為易”的數學思想。

學生學習數學的認知起點，不僅限于邏輯關系上的知識基礎，而且還包含現實生活中積累的經驗，即學生的現實起點。這一點越來越成為廣大教師的共識。而且，學生學習渠道越來越寬了，他們在學習新知識以前往往已經有了相當豐富的生活經驗和實踐積累。筆者任教的是一座城市小學，我發現在許多知識的學習中，學生的現實基礎都高于邏輯起點，在教學前總有學生已經能夠應用已有的知識解決新授的內容。因此，我們不能把學生視為一張白紙，在研讀教材的同時，充分了解學生的認知基礎顯得尤為重要。只有把學習活動的起點建立在學生的知識經驗基礎上，學生才會感到親切、自信，從而產生認知的沖動，積極投入到學習中去，主動地建構知識。

責任編輯：陳國慶