高數在經濟領域中的應用研究

一、函數在經濟分析中的應用

在經濟活動中生產者與消費者通過市場交換商品，消費者購買商品是為了得到它的效用，生產者提供商品為了獲取利潤，而市場就是生產者和消費者之間的橋梁我們知道某種商品的市場需求量是商品價格的函數，一般說來將隨著價格的上漲而減少，即需求量是市場價格的單調減少函數，與需求函數相反，供給函數是隨著市場價格的上漲而增加。收人是生產者生產的商品售出后的收人，生產者銷售某種商品的總收人取決于該商品的銷售和價格，成本函數固定成本廠房設備管理者的固定工資等和變動成本原材料勞動者的工資等，利潤是生產者扣除成本的剩余部分它也是產量的函數。

例:已知生產某種商品q件時的總成本(單位：萬元)為

C（q）=10+5q+0.2q

如果每售出一件該商品的收入為9萬元

(1)求生產10件該商品時的總利潤。

(2)求生產20件該商品時的總利潤。

解由題意可知，該商品的收入函數是R (q) =9q(萬元)

又已知C(q)=10+5q+0.2q(萬元)

利潤的函數為L（q）=R(q)一c(q)=4q一10一0 .2q(萬元)

(1)生產10件該商品時的利潤為

L(10)=4x10一10一0.2x102=10(萬件)

(2)生產20件該商品的總利潤為

L(20)=4x20一10一0.2x202=-10(萬元)

從上面這個例子，我們可以分析這樣現象，即利潤并不是總是隨著產量的增加而增加有時會產量增加，利潤反而減少，甚至會產生虧損。由理論分析得知利潤函數分三種情況：

L(q)=R(q)一c(q)>0此時生產者盈利。

L(q)=R(q)一C(q)<0生產者虧損。

L(q)=R(q}- C(q)=0此時生產者即不盈利也不虧損即收支平衡。

盈虧分析常用于企業經營管理中各種價格或生產的決策。

二、收入最大化與利潤最大化的優化分析

總收入R是產量x與單價P的乘積，即R= X*P，若價格不變，最大的產量導致最大收入，但收入最大時的產量不一定就能產生最大的利潤。下面，我們通過運用高數知識的優化分析，使你能清楚地理解這一點。

例1設某商品可以保證至少銷售10000件，每件售價為50元，如果銷售量增加，可按每增加2000件，相應地每件降低2元的比例適當降低價格，已知生產此種商品的固定成本是60000元，可變成本為每件20元，假設這種商品以銷定產(即產量與銷售量相等)，分析產量為多少時，才能獲得最好的經濟效益?

三、建立數學模型是經濟學向數學化、精密化邁進的橋梁，培養建模能力，是培養數學素質的重要內容

例如，風險資產優化組合問題。在市場經濟條件下，每位投資者都面臨著多種風險資產的投資決策問題。一般說來，每種金融資產，既有收益，又有風險，而且收益大的其風險也大。如果你把全部資金投向一種金融資產，那么你將承擔極大的風險。“不要把雞蛋裝在一個籃子里”，聰明的投資者會將他的資金投到多種金融資產上去，這叫做分散投資風險。如何優化投資者的資產結構，才可使總體收益最大呢?這里有一個難題，就是現實中不同的資產往往是互相影響的。因此，孤立地看，本來是很好的幾種金融資產，其組合卻并不一定是優良的投資決策，反而有可能成為很糟糕的資產結構怎樣解決這個問題呢?我們可以通過建立數學模型來實現(計算方法略)。

自然科學也常常需要數學模型。然而建立數學模型對于社會科學來講尤其具有特殊重要意義自然科學是實證科學，研究自然現象可以采用變換因索多次重復實驗的方法，從中發現量與量的依賴關系。然而，對于社會現象來講，“實驗”這個研究社會現象的王牌武器卻完全無能為力。因為社會現象是一次性的動態現象，不可能重現，沒有讓你實驗的機會，所以不可能建造社會現象實物模型供研究者使用而數學模型恰恰可以彌補這方面的不足。人們可以根據現實的資料。多次地在計算機上檢驗這個模型，修改這個模型，使之日臻完善，從而找出社會現象諸因素之間的數量依存關系，完成人類認識社會現象的理性飛躍。通過數學模型研究，省時、省錢、省力而且安全，所以說數學模型是社會經濟分析的“實驗室”。

為適應人們對社會現象定量認識的緊迫需要，數學模型便堂而皇之地登上了社會科學的殿堂。西方經濟學中的“經濟增長模型”、“漢森一窿繆爾森模型”、“商品—貨幣領域的般均衡模型”等等便是證明。我國已連續數年成功地舉辦了高等院校學生的建模比賽，這說明建立數學模型能力的培養已突出地受到了人們的重視。

四、微積分在經濟分析中的應用

在經濟學里習慣上用平均和邊際這兩個概念來描述一個經濟量對于另一個經濟量的變化，如邊際成本其經濟含義當產量為再生產一個單位產品所增加的總成本C(q+1)-C(q)=△C(q)=C(q)

邊際利潤總利潤的平均變化率設銷售某種產品利潤函數為等于總收入減去總成本即那么由導數的運算法則可知所以，邊際利潤等于邊際收人減去邊際成本。

例:已知生產某種彩色電視機的總成本函數為

C(q)=2.2x103q+8x107

通過市場調查可以預計這種彩電的年需求量q=3.1x105一50p，試求使利潤最大的銷售量和銷售價格。

解由需求量q=3.1x105一50p，解得

p=6.2x103-0.02q，那么當銷售量為最大時，總收入函數為，R(q)=P(q)=6.2x103q-0.02q3利潤函數為L(q)=R(q)-C(q)= 4x103q-0.02q3-8x107

L’(q)=4x103q -0.04q

令L’(q)=4x103q -0.04q=0，得惟一駐點q=105由實際問題可知，q=105是利潤函數的極大值點，也是它的最大值點，最大利潤為:L(105)= 4x103x105-0.02x108-8x107= 1.2x108

當q=105，彩電的銷售價格為p=6.2x103-0.02x105=4200(元)

邊際需求為q(P)= -50，需求彈性為:

使利潤最大的彩電售價為P=4200(元)，那么需求彈性為

即當彩電售價為需求彈性為富有彈性，此時適當降價不僅能夠增加銷售量，擴大本企業的彩電在銷售市場上的占有份額，同時也能減少產品的庫存積壓，降低庫存成本，增加銷售總收入，給企業帶來經濟效益。

五、要培養人們的數學模擬能力，還必須通過數學培養人們的量化測度能力，從而使人們在經濟工作中，科學地合理地制定目標，提高經營管理水平

例如奔小康問題。有資料記載，某地制定農村達小康標準為人均年收人2000元。據查，某村400人，一專業戶(4口人)年收人60萬元，另一專業戶(4口人)年收人20萬元，村中70%的人年收人在300元左右，其余的人年收人500元左右。據此，該村的年總收人構成為：

60萬元，20萬元各一戶.兩戶共8人；

收人300元者共400 x70% = 280人；

收人500元者400一280一8=112人

所以，該村人均年收人為

-

x=60+20+0. 03 x 280+0.05 x 112/400

= 0.235(萬元)

按當地規定的標準，該村已步人小康，該村村長、支書可列人率領群眾奔小康的模范人物，可以請功領賞了。但事實上，該村大多數人還處于貧困水平(70%的人年收人在300元左右)、榮譽與事實反差極大的原因在于“小康”的標準定得不科學，不合理，即“小康”未能正確地量化測度。應該還有“共同富裕”這一條。如何度量“共同富裕”這一標準呢?概率論中告訴我們，可以使用人均年收人的標準差a和標準系數Ve。經計算可有

該村的人均年收人標準系差數竟然超過100%，達到六倍多，實在沒法交待!這說明一個現代化的管理者必須學會止確制定奮斗目標和評價指標。為此，管理者必須具備一定的數學知識，否則會將人們引向歧途，還有邊際分析、彈性分析，對于經濟分析都很有用。

以上列舉一些事例只是經濟生活中最優化問題的一小部分。類似優化問題，現實生活中不勝枚舉。限于篇幅，在此不在列舉。最后要提醒讀者注意的是，由于計量方法等原因，在實際問題中，函數的自變量有許多是離散的，按照連續函數極值的判定方法，求出的極值點，可能與自變量允許取的離散值不完全吻合，一般情況下，可以取極值點最近旁的允許值范圍內的點來代替極值點，而求出極值。另外，本文所用實際問題中求最值簡化方法對不連續函數不能用；對定義域上超過一個駐點的函數，也不能用、遇到不能用簡化方法的，就必須將各駐點，一階導數不存在點，及區間端點的函值數全求出，再比較大小，即可得最大(小)值。