幾何教學中如何培養學生的發散性思維

教育部制定的全日制義務教育數學課程標準中明確指出：初步學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會、去解決日常生活中和其他學科學習中的問題，增強應用數學的意識；而發散思維是思維方式之重中之重。何為發散思維呢？即根據已有的信息，從不同的角度、按不同的線索、向著不同的方向思考，從多方面尋求多種解答和見解的一種思維方式。下面以初中數學教材中的例、習題為例，從四個方面粗淺地談談如何培養學生的發散思維。

一、已知的發散

已知的發散是將結論確定以后，盡量變化已知條件，從而由不同的角度、用不同的知識解決問題。

例1如圖1，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，（1）已知AD=9cm，DB=4cm。求AC的長。

已知條件的給法有多種，僅考慮每次給出的兩條邊長的情況直接應用“射影定理”的還有：（2）AD、AB;（3）AB、DB;直接應用“勾股定理”的有：（4）AD、CD;(5)AB、CB;這些用一次定理即可解出AC，可見已知和結論的距離比較近。若已知：（6）CD、DB (7)CB、DB (8)AB、CD (9)CB、CD時，需用兩次定理才能解決。可見已知與結論的距離遠一些。若已知（10）AD、CB時，先用“射影定理”列出關于DB的一元二次方程解出DB，再用“勾股定理”或“射影定理”求解AC，已知與結論的距離就更遠一些。這樣有利于同學在現實比較中尋找思維的差距，在總結選擇中提高思維的水平。

二、結論的發散

與已知的發散相反，結論的發散是確定了已知條件后沒有固定的結論，而是要探索盡量多的確定的未知元素，并且去解這些元素。

例2 如圖2，已知點C在線段AB上，以AC、CB為邊向同側作等邊三角形△AMC、△CNB，設△AMC的邊長為a，△CNB的邊長為b，連結AN、BM相交于點P，記AN與CM的交點為E，BM與CN的交點為F，由上述條件能推出哪些正確結論？并加以證明。

圖2

如：①AM∥CN；②BN∥CM；③EF∥AB；④△ACN≌△MCB；⑤AN=BM；⑥△AEC≌△MFC；⑦EC=FC；⑧△ECN≌△FCB；⑨△CEF是等邊三角形等等。

可見它的內容之豐富、涉及面之寬廣。發散思維可以用較少的題目，復習較多的知識，以少勝多；還可以由淺入深、由此及彼地探尋解題途徑并選擇最佳途徑。所以發散思維不僅對提高解題能力有益，更重要的是對學習思維方法、提高思維能力有益。

三、解法的發散

解法的發散就是一題多解，它能使學生的思維活躍、思路開闊，因此它既是提高能力的方法，又是能力提高的結果。

例3 如圖3，經過⊙O上的點T的切線和弦AB的延長線相交與C。求證：∠ATC=∠TBC。

圖3

證法一：

∠CTB=∠TAB

∠ATC=∠ATB+∠CTB ＝＞∠ATC=∠TBC。

∠TBC=∠ATB+∠TAB

證法二：

∠CTB=∠TAC

∠C=∠C

證法三：

∠DTA=∠TBC

∠DAT+∠ATC=1800 ＝＞∠ATC=∠TBC。

∠TBA+∠TBC=1800

證法四：

∠ATC=∠AMT

∠TBC=∠AMT

本題就有四種以上的證法涉及了若干個定理、定義，這里就不作詳述。

四、圖形的發散

圖形的發散是以基礎圖形為原型，在保證一些條件不變的情況下，將某些元素的位置不斷地變化，得到一些新的圖形。

例4以數學教科書中的一個基本圖形（如圖4）為原型，在保證△AEF∽△ABC的情況下，繞點A將△AEF進行“旋轉”、“翻折”或將EF“平移”，可產生十幾種新的圖形，這樣使學生了解圖形的演變過程，掌握它們之間的區別和聯系、特殊與一般的規律，從而達到舉一反三、觸類旁通的目的。