函數(shù)值域的常見求法

a在函數(shù)的三要素中，定義域和值域起決定作用，而值域是由定義域和對應(yīng)法則共同確定的。研究函數(shù)的值域，不但要重視對應(yīng)法則的作用，而且要特別重視定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。確定函數(shù)的值域是研究函數(shù)不可缺少的重要一環(huán)。本文主要幫助考生靈活掌握求值域的常用方法。

1. 觀察法

對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。

例1.求函數(shù)y= 的值域。

解：∵x≠0，∴ ≠0

顯然函數(shù)的值域是：（-∞，0）∪（0，+∞）。

2. 二次函數(shù)法

例2.已知函數(shù)f(x)=lg［(a －1)x +(a+1)x+1］。

(1)若f(x)的定義域?yàn)?－∞，+∞)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若f(x)的值域?yàn)?－∞，+∞)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解：（1）依題意(a －1）x +(a+1)x+1＞0對一切x∈R恒成立，

當(dāng)a －1≠0時，其充要條件是

a -1＞0△=(a+1) -4(a -1)＜0

即a＞1或a＜-1a＞ 或a＜-1

∴a＜-1或a＞ 。

又a=－1時，f(x)=0滿足題意，a=1時不合題意。

故a≤－1或a＞ 為所求。

(2)依題意只要t=(a －1)x +(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，則f(x)的值域?yàn)镽，故有a -1＞0△≥0，解得1＜a≤ ，又當(dāng)a －1=0即a=1時t=2x+1符合題意，而a=-1時不合題意，∴1≤a≤ 為所求。

3. 配方法

配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。

例3.求函數(shù)y=x -2x+5，x∈［-1，2］的值域。

解：將函數(shù)配方得：y=（x-1） +4，∵x∈［-1，2］，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：

當(dāng)x=1時，y =4

當(dāng)x=-1時，y =8

故函數(shù)的值域是［4，8］。

4. 反函數(shù)法

直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。

例4.求函數(shù)y= 值域。

解：由原函數(shù)式可得：x=

則其反函數(shù)為：y=

其定義域?yàn)閤≠

故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?∞， ）。

5. 函數(shù)有界性法

直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函數(shù)的值域。

例5.求函數(shù)y= 的值域。

解：由原函數(shù)式可得e =

∵e ＞0，∴ ＞0，

解得-1＜y＜1。

故所求函數(shù)的值域?yàn)?-1，1)。

6. 換元法

通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。

例6.函數(shù)y=x+ 的值域是( )。

A. (－∞，1］

B. (－∞，－1］

C. R

D .［1，+∞）

解：令 =t(t≥0)，則x= 。

∵y= +t=－ (t－1) +1≤1

∴值域?yàn)?－∞，1］。

答案：A。

總之，在具體求某個函數(shù)的值域時，首先要仔細(xì)、認(rèn)真觀察其題型特征，然后選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ话銉?yōu)先考慮直接法、函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”