凹函數(shù)的性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用

凹凸性是函數(shù)的重要性質(zhì)，定義為：若函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間I有定義，且對(duì)任意的x ，x ∈I，t∈(0，1)均有f［tx +(1-t)x ］≥（≤）tf(x )+(1-t)f(x )成立，則稱f(x)在區(qū)間I上是凹(凸)函數(shù)。函數(shù)凹凸性的判定常用如下定理：設(shè)f(x)在I內(nèi)二階可導(dǎo)，則f(x)是I上的凹(凸)函數(shù)的充要條件是f″（x)≤（≥）0，(x∈I)。若f(x)在I上是凸函數(shù)，則-f(x)在I上為凹函數(shù)，所以討論凸函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為討論凹函數(shù)。

本文給出一則凹函數(shù)的性質(zhì)及推論，并舉例說(shuō)明它在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的一些最值問(wèn)題上的應(yīng)用。

性質(zhì)：定義在I上的二階可導(dǎo)函數(shù)f(x)是嚴(yán)格凹函數(shù)，若x ，x ∈［a，b］(［a，b］?哿I)，且x +x 為定值，則當(dāng)|x -x |的值增大時(shí)，f(x )+f(x )的值減小。

證明：設(shè)|x ′-x ′|＞|x -x |且x ′+x ′=x +x 為定值，不妨設(shè)x ′＞x ≥x ＞x ′，則x ′-x =x -x ′＞0。

由微分中值定理，存在ξ ∈（x ′，x )，ξ ∈（x ，x ′)，使得f(x )-f(x ′）=f′(ξ )(x -x ′)，f(x

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