蝴蝶定理及其教育價(jià)值

摘 要：本文以蝴蝶定理為載體，以蝴蝶定理的教育價(jià)值為切入點(diǎn)，從體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；形式多樣的解題策略，提供給學(xué)生研究性學(xué)習(xí)的可能性；尋找方便之解，誘發(fā)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的興趣；形式簡(jiǎn)單的推廣，為學(xué)生提供數(shù)學(xué)研究的范例等四個(gè)方面談普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)理念的實(shí)現(xiàn)。

關(guān)鍵詞： 蝴蝶定理 數(shù)學(xué)美 研究性學(xué)習(xí) 教育價(jià)值

一、問(wèn)題的提出

眾所周知，“數(shù)學(xué)使人理性”，數(shù)學(xué)在形成人類(lèi)理性思維和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過(guò)程中發(fā)揮著獨(dú)特的，不可替代的作用。數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是公民所必須具備的一種基本素質(zhì)，而公民的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，主要是靠學(xué)校教育來(lái)形成的。

20世紀(jì)以來(lái)，世界數(shù)學(xué)課程改革蓬勃興起，并逐步深入。2003年，我國(guó)正式頒布了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)）》，課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)課程的性質(zhì)、理念，對(duì)課程的內(nèi)容、目標(biāo)，對(duì)課程內(nèi)容的教學(xué)、評(píng)價(jià)有了新的認(rèn)識(shí)。在課程理念中指出：數(shù)學(xué)課程要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，并創(chuàng)造各種有利的條件，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣，并在其中體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)。［１］

那么，在具體的課堂教學(xué)實(shí)踐中，如何使課程理念真正落實(shí)，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)？本文試圖以蝴蝶定理為載體，以蝴蝶定理的教育價(jià)值為切入點(diǎn)闡述以上課程理念的實(shí)現(xiàn)。

二、蝴蝶定理簡(jiǎn)介

圖1是一只漂亮的蝴蝶，幾何圖形化、數(shù)學(xué)文字化后得一個(gè)漂亮的命題：過(guò)一圓的AB弦中點(diǎn)M引任意兩弦CD和EF，連結(jié)CF、ED，交AB弦于P、Q兩點(diǎn)，則有PM=MQ。命題的圖形貌似一只翩翩起舞的蝴蝶，對(duì)稱(chēng)、和諧，且在對(duì)稱(chēng)、和諧中動(dòng)靜結(jié)合，富有詩(shī)情畫(huà)意之美，故命名為蝴蝶定理。蝴蝶定理作為一道著名的平面幾何題，有人稱(chēng)譽(yù)它為歐氏幾何園地里的“一棵生機(jī)勃勃的常青樹(shù)”。

蝴蝶定理最先是作為一個(gè)征求證明的問(wèn)題，刊載于英國(guó)倫敦1815年出版的一份數(shù)學(xué)科普刊物《先生日記（Gentleman’s Diary）》上，登出的當(dāng)年，英國(guó)一個(gè)自學(xué)成才的中學(xué)教師霍納(W．G．Horner 1786-1837)就給出第一個(gè)證明，證明過(guò)程比較繁，使用的知識(shí)也比較深；1973年，又一位中學(xué)教師斯特溫用三角形面積關(guān)系給出了一個(gè)漂亮而簡(jiǎn)捷的證明；1985年，在河南省《數(shù)學(xué)教師》創(chuàng)刊號(hào)上，杜錫錄同志以《平面幾何中的名題及其妙解》為題，載文向國(guó)內(nèi)介紹蝴蝶定理，從此蝴蝶定理的證明像雨后春筍般脫穎而出，證法不枚勝舉，蝴蝶定理也便在神州大地到處傳開(kāi)。到目前為止，蝴蝶定理的證明已有60多種不同的方法。

三、蝴蝶定理的教育價(jià)值

1.體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

人的心靈是知、情、意的統(tǒng)一，有了興趣，才會(huì)有學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性。但談起幾何的學(xué)習(xí)時(shí)總會(huì)說(shuō)：幾何幾何，三尖八角，老師好教，學(xué)生難學(xué)。使我們所看到的只是幾何圖形的紛繁復(fù)雜，幾何證明的抽象多變。幾何就像一把雙刃劍，一方面幫助一部分學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上披荊斬棘，使他們?cè)叫性竭h(yuǎn)，另一方面卻把一部分學(xué)生從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上揮劍斬下，從此厭惡幾何、遠(yuǎn)離幾何，并喪失學(xué)習(xí)的興趣和信心。

對(duì)美的向往，是人類(lèi)的共同追求；對(duì)美的熱愛(ài)，總能夠激起人類(lèi)的內(nèi)心需求。數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)課程要反映數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值。數(shù)學(xué)美包括簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱(chēng)美、和諧美和奇異美等，蝴蝶定理，把平面圖形中最完美的圖形——圓和大自然生命中的精靈——蝴蝶和諧地統(tǒng)一在一起，再加上教師的語(yǔ)言誘導(dǎo)，使學(xué)生恍惚置身于美麗的田園、清澈的山水之間，身心得到愉悅的享受。在學(xué)生良好的情感體驗(yàn)之下，“角”不再堅(jiān)硬，“證明”不再抽象，而是自己的一種內(nèi)心需求，從而激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，在興趣的指引下，經(jīng)歷一次次的成功，最終建立起對(duì)幾何的熱愛(ài)。

2.形式多樣的解題策略，提供給學(xué)生研究性學(xué)習(xí)的可能性。

現(xiàn)代學(xué)習(xí)理論研究表明：學(xué)習(xí)是學(xué)生的一個(gè)積極主動(dòng)的建構(gòu)過(guò)程。積極主動(dòng)的建構(gòu)過(guò)程指學(xué)生“整個(gè)人”（包括情感和認(rèn)知兩方面）都負(fù)責(zé)地投入學(xué)習(xí)活動(dòng)中，開(kāi)展交流、磋商，并進(jìn)行自我調(diào)整和修正等。

研究性學(xué)習(xí)是指在教學(xué)過(guò)程中以問(wèn)題為載體，創(chuàng)設(shè)一種類(lèi)似科學(xué)研究的情境和途徑，讓學(xué)生通過(guò)自己收集、分析和處理信息來(lái)實(shí)際感受和體驗(yàn)知識(shí)的生產(chǎn)過(guò)程，進(jìn)而了解社會(huì)，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)造能力。研究性學(xué)習(xí)的核心是要改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，強(qiáng)調(diào)一種主動(dòng)探究式的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生通過(guò)自己的努力去積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)，是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力、推行素質(zhì)教育的一種新的嘗試和實(shí)踐。

蝴蝶定理至今所發(fā)現(xiàn)的60多中證法中，初等證法就有綜合法、面積法、三角法、解析法、相似法、全等三角形法等等，證明見(jiàn)參考文獻(xiàn)［２］［３］。這些方法，都是證明兩線(xiàn)段相等方法的深入應(yīng)用，方法非常靈活，有的實(shí)在不易想到。但我們改變以往傳統(tǒng)的課堂講授的形式，改師生共同完成為學(xué)生自主探索、合作交流、動(dòng)手實(shí)踐、閱讀自學(xué)完成，把學(xué)生分成小組，通過(guò)思考問(wèn)題、提出方案、嘗試解決、拓寬思路、查閱資料、展示成果這樣的幾個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生帶著問(wèn)題去查閱資料，去開(kāi)闊思路，相互交流，共同討論。在他們的集思廣議之下，一定會(huì)使得問(wèn)題有所突破。并在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中，讓他們體會(huì)集體的力量，學(xué)會(huì)合作，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法。周春荔教授也曾指出，蝴蝶定理是一個(gè)研究性學(xué)習(xí)的好課題［２］。

3.尋找方便之解，誘發(fā)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的興趣。

對(duì)于蝴蝶定理，參考文獻(xiàn)［２］［３］提供了眾多的初等證法。這些初等證法不僅解題過(guò)程繁瑣，而且所涉及的知識(shí)點(diǎn)都比較多，包括中心對(duì)稱(chēng)、三角形全等、四點(diǎn)共圓、正弦定理等等。這些知識(shí)點(diǎn)，又基本上都是幾何學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，而且除解析法外，都涉及作輔助線(xiàn)。作輔助線(xiàn)，是部分學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何是難以越躍的一條鴻溝。

蝴蝶定理有沒(méi)有形式簡(jiǎn)潔的證明呢？當(dāng)然有，此時(shí)可向?qū)W生指出，在圖2中，連接FA、FB、DA、DB，則A、P、M、B是從點(diǎn)C（或從點(diǎn)F）出發(fā)的四條直線(xiàn)與直線(xiàn)AB的交點(diǎn)，A、M、Q、B是從點(diǎn)E（或從點(diǎn)D）出發(fā)的四條直線(xiàn)與直線(xiàn)AB的交點(diǎn)，對(duì)于點(diǎn)A、P、M、B與點(diǎn)A、M、Q、B，具有

而已知AM=MB，所以得到

再應(yīng)用分比定理，并注意PB-PM=AQ-MQ，就得到PM=MQ。

這一證明過(guò)程，簡(jiǎn)潔明了，玲瓏剔透，所涉及的知識(shí)點(diǎn)較少，在經(jīng)歷了初等解法的繁瑣后，學(xué)生一定會(huì)被它的簡(jiǎn)潔美所折服，也會(huì)被［A，P，M，B］=［A，M，Q，B］，從而 = 所迷惑。這時(shí)，教師指出這一證明所需的知識(shí)點(diǎn)是“交比”，并簡(jiǎn)要介紹“交比”這一概念，指出“交比”是《高等幾何》課程研究的內(nèi)容之一，激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)《高等幾何》的興趣，并把學(xué)生誘向?qū)W習(xí)《高等幾何》的大門(mén)。

4.形式簡(jiǎn)單的推廣和演變，為學(xué)生提供數(shù)學(xué)研究的范例。

數(shù)學(xué)書(shū)似乎永遠(yuǎn)都是一個(gè)樣：打開(kāi)之后，首先進(jìn)入眼簾的是密密麻麻的數(shù)學(xué)符號(hào)，縱橫交錯(cuò)的幾何圖形，大串大串的公理、定理、公式，連篇累牘的推理、推理、再推理。幾乎所有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人都認(rèn)為，數(shù)學(xué)研究，數(shù)學(xué)的發(fā)展，那是數(shù)學(xué)家的事。實(shí)際上，“數(shù)學(xué)的發(fā)展正是由數(shù)學(xué)中某些概念的推廣和由此而引發(fā)的新內(nèi)容、新概念、新方法、新問(wèn)題的出現(xiàn)而導(dǎo)致”。［４］

下面，我們借助蝴蝶定理的推廣和演變，向?qū)W生闡述數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程：

蝴蝶定理的內(nèi)容要求CF和ED與弦AB有交點(diǎn)，這就限制了弦CD和EF的范圍，當(dāng)CF和ED與弦AB交于圓外時(shí)，產(chǎn)生了一個(gè)推論；當(dāng)CF和ED交圓外的一條直線(xiàn)于兩點(diǎn)時(shí)，又產(chǎn)生了另一個(gè)推論，于是由蝴蝶定理的內(nèi)容要求產(chǎn)生了兩個(gè)簡(jiǎn)單的推論。

推論1.過(guò)圓的AB弦的中點(diǎn)M，引任意兩條弦CD和EF，直線(xiàn)CF與ED與直線(xiàn)AB交于P、Q兩點(diǎn)，則有MP=MQ。(如圖3)

推論2：l為圓O外的一直線(xiàn)，OM垂直于l于M點(diǎn)，過(guò)M引圓的任意兩條割線(xiàn)MCD，MEF，直線(xiàn)CF和ED與直線(xiàn)l交于P、Q兩點(diǎn)，則有MP=MQ。（如圖4）

在蝴蝶定理中，如果點(diǎn)M不是AB的中點(diǎn)，又可得如下的推廣：

推廣：如圖5，設(shè)M是圓的弦AB上（除端點(diǎn)外）的任一點(diǎn)，過(guò)M作圓的任意兩弦CD，EF，線(xiàn)段CF，DE分別交AB于G，H兩點(diǎn)，則

此定理成為坎迪定理，當(dāng)AM=BM時(shí)，即可得GM=HM，所以蝴蝶定理是坎迪定理的特殊情形。

然后想，把蝴蝶定理中的圓演變?yōu)闄E圓會(huì)是什么樣一種狀況呢？如圖6，此時(shí)，平面幾何的證法已經(jīng)無(wú)能為力，解析幾何證法的優(yōu)越性凸顯。事實(shí)上，在橢圓中確實(shí)也有類(lèi)似的結(jié)論：過(guò)橢圓的AB弦中點(diǎn)作任意兩弦CD和EF，直線(xiàn)CF和ED交直線(xiàn)AB于P，Q兩點(diǎn)，則有PM=MQ。更有推廣到任一條非退化的二次曲線(xiàn)中的情形。而由二弦我們也容易想到多弦的問(wèn)題，比如，在圓中拓廣可成“三翅蝴蝶問(wèn)題”，但是以上都是在二維平面上的推廣情形，說(shuō)到這里，就會(huì)不自覺(jué)地要去想三維空間乃至實(shí)n維歐氏空間中的二次超曲面的情形。像這樣我們不停地從特殊從一般、從常態(tài)到非常態(tài)地進(jìn)行思維，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的實(shí)驗(yàn)，對(duì)問(wèn)題的類(lèi)比，對(duì)問(wèn)題結(jié)論的直覺(jué)猜想，對(duì)結(jié)論的邏輯推理證明，不斷地學(xué)習(xí)，不斷地獲得新的結(jié)論，這個(gè)過(guò)程，就是數(shù)學(xué)研究的過(guò)程。

總之，蝴蝶定理這一教學(xué)內(nèi)容，不僅能有效地發(fā)展學(xué)生的推理能力，而且能引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的思想方法，提高數(shù)學(xué)的鑒賞力，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，發(fā)展空間觀念和自主創(chuàng)新的意識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［S］.北京：人民教育出版社，2003.

［2］周春荔.蝴蝶定理——一個(gè)研究性學(xué)習(xí)的好課題［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2004，(1).

［3］左宗明編著.世界數(shù)學(xué)命題選講［M］.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1990.

［4］吳振奎，吳旻編著.數(shù)學(xué)的創(chuàng)造［M］.上海：上海教育出版社，2003.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”