重視數學設想，培養學生的創新潛能

在數學教學中，我們的學生數學基礎扎實，但對富有挑戰性和創造性的問題的解決情況令人深思，故培養創新意識應成為數學教育的一大重任。設想是數學上很獨特的思維方式，分析的成敗往往系于設想是否大膽和合理，設想是分析過程中不斷獲得新勢頭的動力。因此，設想能力的培養在數學思維訓練中占有十分重要的地位。

一、創設問題，合情推理

大家都知道等差、等比數列都有求和公式，現在的問題是數列1 ，2 ，…n ，…，其前n項和S =1 +2 +3 +…+n 是有公式可求嗎？

特殊之中蘊涵著一般，朋友們不妨先取幾個特殊值算算，看看說不定有什么規律。

提問1：讓學生動手算一算結果如何？

由學生得出：s =1，s =9，s =36，s =100，s =225，……

接著提出問題2：數值結果有什么規律？

引導學生得出都是完全平方數：s =1 ，s =3 ，s =6 ，s =10 ，s =15 ，……

問題3：平方下的底數有沒有什么規律？

1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，15=1+2+3+4+5，…

通過提問創設問題，讓學生自己去推測S 的求和結果，學生可以得出S =(1+2+…+n) (數值體驗、合情推理)。

二、設想問題成立

還未動手， 就“設想問題已解”，這是數學上最大膽、最基本、最樸素的幻想，它既適用于要證明的問題，也適用于要尋求的問題。靠著設想，引導學生發現世外桃源的洞口，看到透出的一絲亮光，使學生覺得數學并不那么枯燥無味。事實上，每道數學題都有自己的切入口，關鍵是必須把解決問題的切入口找到，教學時難就難在如何把學生引導到這個切入口。

例1.已知雙曲線2X -2Y =1的兩個焦點分別為F ，F ，P為動點，若｜PF ｜+｜PF ｜=2a，a為定值(其中a＞1)，cosF PF 最大值為 。

(I) 求動點P的軌跡E的方程。

(II) 過點N(- ，0)作直線L交軌跡E于A、B兩點，設點M（-2，0），判斷∠AMB的大小是否為定值，并證明你的結論。

此題的第二步并沒有告訴我們該定值是什么，故會增解題的難度，因此，我們首先必須想法猜測出關于該定值的信息。

由（I）可得E的軌跡方程為 + =1。

當L⊥x軸時，直線L的方程為x=- ，代入 + =1解得A，B的坐標分別為（- ， ）和（- ，- ），∴ #8226; =0，∴∠AMB=90°。可猜測∠AMB=90°為定值，因此我們也就知道了此題的目的就是要獲得 #8226; =0的結果成立，即可完成。

例2. 以F （0，-1），F （0，1）為焦點的橢圓C過點P（ ，1）。

（I） 求橢圓C的方程

（II） 過點S（- ，0）的動直線L交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得無論L如何轉動，以AB為直徑的圓恒過點T？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由。

在這題的第二步中與例1的第二步一樣，要先找到定點T。這里面實際上也涉及由特殊到一般的思維進行創新的探究方法。

由（I）得橢圓C方程：x + =1。

①由過點S（- ，0）的動直線的斜率為0，得直線L：y=0與x + =1的交點A（-1，0），B（1，0），則AB為直徑的圓為D 的方程為x +y =1。

②由過點S（- ，0）的動直線的斜率不存在，得直線L：x=- 與x + =1的交點A（- ，- ），B（- ， ），則AB為直徑的圓為D 的方程為：（x+ ） +y = ，D 和D 相交于點T（1，0）

可猜測若恒過點T，則T點的坐標為（1，0），接下來的做題就比較水到渠成，只要能證明 #8226; =0恒成就夠了。

數學設想實際上是一種數學想象，是人的思維在探索數學規律、本質時的一種策略。它對于創造性是至關重要、不可缺少的。設想是否符合實際、是否可行，與經驗理論基礎、方法都有很大的關系。經驗越豐富，理論基礎越扎實，方法越正確，設想的預見性就越高。在教學中，教師要重視數學設想，培養學生的探究能力。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”