研究性問題解法初探

回顧近幾年高考教學(xué)中的研究性問題，題目本身沒有給出明確的結(jié)論，只是提出幾種可能，需經(jīng)過觀察、分析才能得出解題方法。但并沒有像應(yīng)用題一樣，穩(wěn)中有創(chuàng)新。每年都不外乎歸納型和存在型兩類，或者分為條件追溯型、結(jié)論探究型、方法探究型。因此，筆者在高三帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)時(shí)，針對(duì)這些題型進(jìn)行訓(xùn)練。本文為筆者對(duì)這類題型的復(fù)習(xí)心得，以求同行指教。

一、條件追溯型

這類問題的基本特征是：針對(duì)一個(gè)結(jié)論，條件未知需探究，或條件正誤需判斷。解決這類問題的基本策略是：執(zhí)果索因，先尋找結(jié)論成立的必要條件，再通過檢驗(yàn)找到結(jié)論成立的充分條件。在“執(zhí)果索因”的過程中，值得注意的是：學(xué)生常常會(huì)不考慮推理過程的可逆與否，誤將必要條件當(dāng)作充分條件。

例1、（2002年全國(guó)文）對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件：

（1）焦點(diǎn)在Y軸上；（2）焦點(diǎn)在X軸上；（3）拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6；（4）拋物線的通徑長(zhǎng)為5；（5）由原點(diǎn)向拋物線的過焦點(diǎn)某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為（2，1），能使這拋物線為y =10x的條件是?搖?搖?搖?搖。（要求填寫合適條件的序號(hào)）

分析：本題要求學(xué)生能從結(jié)論出發(fā)探求結(jié)論成立的必要條件，而后加以對(duì)照，可知應(yīng)填（2）、（5）。

注：對(duì)條件或結(jié)論不明確的探究性問題，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的潛能和創(chuàng)新意識(shí)，特別是培養(yǎng)學(xué)生的探究能力是十分重要的。

二、結(jié)論探究型

這類問題的基本特征是：要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對(duì)象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)是否存在或某一結(jié)論是否成立。解決這類問題的基本策略是：通常假定題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)或暫且認(rèn)可其中的一部分的結(jié)論，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論。其中反證法在解題中起著重要的作用。

例2、已知函數(shù)y＝f（x）＝ax ＋bx＋c的圖像過點(diǎn)（－1，0），是否存在常數(shù)a、b、c，使得不等式x≤f（x）≤ （1＋x ）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立。

分析：假設(shè)存在符合條件的a、b、c，函數(shù)y＝f（x）的圖像過點(diǎn)（－1，0），所以

a－b＋c＝0①

又因?yàn)椴坏仁絰≤f（x）≤ （1＋x ）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，取x＝1，得

a＋b＋c＝1②

由①、②得：b＝ ，a＋c＝ ，

∴f（x）＝ax ＋ x＋（ －a）。

因?yàn)椴坏仁絰≤f（x）≤ （1＋x ）

即ax + x+( -a)≥xax + x+( -a)≤ （1+x ）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，

根據(jù)判別式求得a＝ ，從而c＝ 。

故存在常數(shù)a＝c＝ ，b＝ 使得不等式x≤f（x）≤ （1＋x ）對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立。

例3、已知雙曲線C： - =1的左、右焦點(diǎn)分別為F 、F ，左準(zhǔn)線為l，問能否在雙曲線的左半支上求得一點(diǎn)P，使|PF |是P到l的距離d與|PF |的比例中項(xiàng)。

分析：在已知雙曲線中，a＝5，b＝13，求得c＝13，e＝ 。

假設(shè)在左半支上存在P點(diǎn)符合題意，則|PF | =d|PF |，即 = = = ，

所以，|PF |= |PF |。

又由雙曲線定義知|PF |－|PF |＝10，

所以，|PF |= ，|PF |= 。

但在△PF F 中，|PF |＋|PF |＞2c①

當(dāng)P在線段F F 上時(shí)，

|PF |＋|PF |=2c②

綜合①、②得 + ≥26，即 ≥26，此式錯(cuò)誤，

所以假設(shè)不成立，故符合題中條件的點(diǎn)P不存在。

例4、在直角坐標(biāo)系xOy中，給定拋物線C：y＝ax ，問是否存在定點(diǎn)M且不垂直于x軸的任意直線與曲線C恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且OA⊥OB？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由。

分析：設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（p，q），過點(diǎn)M與x軸不垂直的直線方程為：y＝kx－kp＋q，將其代入C的方程，得：ax －kx＋kp－q＝0，

設(shè)其兩根為x 和x ，則點(diǎn)M符合題意的充要條件是：對(duì)任意實(shí)數(shù)k恒有

x x +(kx -kp+q)(kx -kp+q)=0?搖?搖?搖（1）△=k -4a(kp-q)＞0（x x ≠0）?搖?搖?搖?搖?搖（2）

由（1）?圳pak＋1－qa＝0，要使它對(duì)所有k恒成立，必須p＝0，q＝ 。

經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)（2）也成立，故存在符合題意的點(diǎn)M（0， ）。

三、方法探究型

這類問題的基本特征是：給出一定的條件，要求設(shè)計(jì)一種方案。解決這類問題的基本策略是：運(yùn)用觀察、類比、猜想、模擬等方法探求解題思路，探索成功后再給出證明。

例5、用一塊鋼錠澆鑄一個(gè)厚度均勻，且全面積為2m 的正四棱錐形有蓋容器，設(shè)容器的高為h，蓋子邊長(zhǎng)為a，容器容積為Vm ，問如何設(shè)計(jì)容器，使得容器的容積最大？

分析：設(shè)h′為正四棱錐的斜高，

由已知得a +4#8226; h′a=2h + a =h′ ，

由此解得 a＝ （h＞0），

∴V= ha = (h＞0)

得V＝ ，

∵h(yuǎn)+ ≥2 =2

∴V≤ ，當(dāng)且僅當(dāng)h= ，即h＝1時(shí)等式成立，

故當(dāng)h＝1m時(shí)，V有最大值，V的最大值為 m 。

注：求某些幾何體的體積或某物體的容積的極值，往往用基本的不等式求解。求解的關(guān)鍵是創(chuàng)造幾個(gè)正數(shù)的“和”或“積”是定值這個(gè)重要條件，去求出“積”的最大值或“和”的最小值。

解決研究性問題，除采用以上幾種常見探究方法外，還可以借助其它一些手段，如利用圖形特征，構(gòu)造模型，利用命題的等價(jià)變換等?？傊?，解決研究性問題，沒有現(xiàn)成的套路和常規(guī)程序，需要較多數(shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用，在復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)以課本為基礎(chǔ)，抓住課堂這一主陣地，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，形成科學(xué)的探究問題的方法。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>