充分發揮課本習題功能，培養學生的思維能力

在上海初中數學七年級第二學期課本（試用本）P.65練習13.5（4）上有這樣一道習題：

3（1）如圖，已知AB∥CD，∠B+∠BED+∠D等于多少度？為什么？

解：過點E作EF∥AB，

得∠B+∠BEF=180°（?搖?搖?搖?搖 ?搖?搖 ）。

因為AB∥CD（?搖?搖?搖?搖），

EF∥AB（所作），

所以EF∥CD（?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖），

得∠?搖?搖?搖?搖+∠?搖?搖?搖?搖=180°（兩直線平行，同旁內角互補），

因此∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=?搖?搖?搖?搖°。

即∠B+∠BED+∠D=?搖?搖?搖°。

（1） （2）

（2）如圖，在第（1）小題中改變點E的位置，如圖（2）所示，那么∠B，∠BED，∠D有怎樣的數量關系？為什么？

（3）第（1）、（2）兩小題還有其他的解法嗎？試一試。

講完（1）小題后，總結了添輔助線的目的是構造出兩對同旁內角從而解決問題。我要學生想一想，是否還有其他的解法，經過獨立思考，小組討論后，每小組派代表交流解法。

生1：過點E作EF∥AB，得∠B=∠BEF。

因為AB∥CD，EF∥AB，

所以EF∥CD，

得∠D=∠DEF。

因為∠BED+∠BEF+∠DEF=360°，

所以∠B+∠BED+∠D=360°。

師：他把三個角轉化成了一個周角。

生2：我可以聯結BD，因為AB∥CD，

所以∠ABD+∠CDB=180°。

又因為∠DBE+∠BDE+∠BED=180°，

所以∠ABD+∠CBD+∠DBE+∠BDE+∠BED=360°，

即∠ABE+∠E+∠CDE=360°。

師：該同學把三個角分成了一對同旁內角和三角形的三個內角之和，從而解決了問題。

生3：如圖，我可以構造一個四邊形和一對內錯角，

因為AB∥CD，所以∠ABF=∠BFD。

又因為∠BFD+∠D+∠E+∠EBF=360°，

所以∠ABF+∠D+∠E+∠EBF=360°，

即∠ABE+∠D+∠E=360°

生4：如圖，我可以構造一個五邊形和兩個直角，用五邊形的內角和減去兩直角之和就可以了。

師：五邊形的內角和怎么求？

生4：用公式（n-2）×180°，小學時學過的。

師：一定要構造兩個直角嗎？

生5：不一定，如圖，我可以任意構造一個五邊形，因為AB∥CD，所以∠BGF+∠GFD=180°，用五邊形的內角和減去同旁內角之和就可以了。

師：既然構造三角形、四邊形、五邊形都可以，六邊形呢？（我自己也沒有想過可不可行，只是想啟發學生學會思考問題的方式）

學生開始討論，有些說不行，有些說行，但又找不到說明的方法。思考了一段時間，有一位學生說他有方法。

生6：如圖，作FG交AB于點F，交CD于點G，點O為FG的中點，作B、E、D關于點O的中心對稱點M、H、N，

根據對稱性∠ABE=∠HMD，∠BED=∠NHM，∠EDM=∠HNB，

所以，∠ABE+∠BED+∠EDM= =360°。

同學們自發鼓掌表示贊賞。

生7：我有一種不同的方法，如圖，過點E作GF交AB的延長線于點G，交CD的延長線于點F，

因為AB∥CD，

所以∠BGE+∠EFD=180°。

又因為∠ABE=∠BGE+∠BEG，∠CDE=∠DEF+∠DFE，

且∠BEG+∠BED+∠DEF=180°，

所以∠ABE+∠BED+∠EDC=360°。

師：很好。將GF往左移與BE交于點I，與DE交與點H，可不可以用以上的推理方式得出。

生8：可以，上一種方法把三個角之和變成了一個平角加上一對同旁內角之和，這種方法把平角換成了三角形的內角和，再通過兩對對頂角轉換而已。

師：將FG再往左移與BD重合，就是構造一對同旁內角和三角形的方法，再往左移，就是構造一對同旁內角和四角形的方法，這些方法是相通的。

（一節課很快過去，很多學生意猶未盡，我要求學生課后在以上幾種方法中選擇兩種方法用符號語言書寫完整，然后再思考是否還有別的方法。）

第二節課接著上一堂課的內容交流不同的解法。

生9：我找到了一種與昨天構造一個四邊形和一對內錯角的相似的方法，如圖，過點B作BF∥DE交CD于點F，

因為AB∥CD，

所以∠ABF=∠BFD。

又因為BF∥DE，

所以∠FBD+∠E=180°，∠BFD+∠D=180°，

所以∠FBD+∠E+∠ABF+∠D=360°，即∠ABE+∠D+∠E=360°。

師：將上面方法中的BF往左移，如圖，作FG交AB于點G，交CD于F，交EB的延長線于H，可以嗎？

生10：可以，因為AB∥CD，

所以∠ABF=∠BFD。

又因為BF∥DE，

所以∠FBD+∠E=180°，∠BFD+∠D=180°，

所以∠FBD+∠E+∠ABF+∠D=360°，

即∠ABE+∠D+∠E=360°。

師：將上面方法中的BF往右移，如圖，作FG交AB的延長線于點G，交CD于F，交EB于H，是否還可以說明？

生11：可以，我來說。

因為AB∥CD，所以∠G=∠HFD。

又因為∠BHG=∠FHE，∠ABE=∠G+∠BHG，

所以∠ABE+∠E+∠D=∠FHE+∠E+∠D+∠HFD=360°。

生12：我有一種更簡單的方法。如圖，延長BE與CD交于點F，

因為AB∥CD，

所以∠B+∠F=180°。

因為∠BED=∠F+∠EDF，

且∠CDE+∠EDF=180°，

所以∠B+∠BED+∠CDE=360°。

生13：這種方法我也想到了，但是說明的方法不一樣。

如圖，延長BE與CD交于點F，

因為AB∥CD，

所以∠B=∠DFG。

因為∠CDE+∠BED+∠DFG=360°，

所以∠B+∠BED+∠CDE=360°。

師：為什么∠CDE+∠BED+∠DFG=360°？

生13：三角形的外角和為360°，我預習過后面的內容。

師：如圖，把折線折1折改為折2折、折3折，推廣到n折后呢？

生14：我發現了規律，折1折時，三個角之和為2×180°，折2折時四個角之和為3×180°，折3折時五個角之和為4×180°，推廣到n折后n+2個角之和為（n+1）×180°。

師：很好，這位同學能將命題的條件一般化，從而推得更為普遍的結論，難能可貴。

師：如圖，如果將折線方向改變，即習題的第二小問，∠B，∠D，∠BEF之間存在什么數量關系？

生15：過點E作EF∥AB

則有EF∥AB∥CD

∵AB∥EF

∴∠B＝∠BEF

同理∠D＝∠DEF

∴∠BED＝∠AEF+∠CEF＝∠B+∠D

師：如圖，如果將折1折改為折兩折呢？

生16：同樣的作法，過點G、H分別作AB的平行線，用上述的方法，同理可得∠1+∠3＝∠2+∠4。

師：如下左圖，改為折五折呢？

生17：同理可得∠1+∠3+∠5+∠7＝∠2+∠4+∠6。

師：如上右圖，改為折n折呢？

生18：可以發現規律：奇數角之和等于偶數角之和。

師：同學們的表現真不錯，大家一起分享了學習成果，希望同學們能在眾多的方法中找到最簡潔、最適合自己的方法。相信每一位同學都有不同的收獲，在探索中體驗了發現的樂趣，課后還可以繼續探究平行線之間折線角的問題。

課后反思：

中學數學教學的核心是培養學生的思維能力。這兩節課的成功之處在于充分發揮了課本習題一題多解的功能，引導學生面對同一題目，盡可能考慮多種不同的解法，進行交流和分享，既擴大了學生的視野，深化了所學的平行線性質的知識，又提高了學生的解題能力，讓學生學會了舉一反三，觸類旁通。在一題多解的基礎上再進行了一題多變，將折線方向改變，再要求學生探索∠B，∠D，∠BEF之間存在什么數量關系，從而變化為與原題內容不同，但解法相近的題目，同時把這道習題與課本P.70的探究活動《平行線被折線所截問題》整合在一起，將命題進行了推廣，從而推得更為普遍的結論。在解完題后，再改變命題的條件和結論，從縱橫兩方面加以引申、拓廣，從而獲得新的結論，這樣不僅加深了學生對數學知識的理解，而且有利于培養學生數學思維能力，特別是對學生的探索精神、創造意識和創造能力的培養也起到了一定的作用。

這兩節課不僅充分發揮了課本習題的功能，而且充分挖掘了來自學生的資源，來自學生的不同思維，容易在同學中產生共鳴，在課堂上學生的自主性得到了很好的展示和發展。學生的討論是熱烈的，思維是活躍的，解決問題的方式是多樣的。當學生闡述自己的方法后，學生都會自發地鼓掌表示贊賞，這一效果是教師單純講解所不能比擬的?；A教育課程改革所提倡的教師是課堂的合作者、引導者和組織者，教學過程是師生交流、積極互動、共同發展的過程，這一教學規則在這兩節課中得到了實現。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>