高中數學課程中的數學文化透析

摘要： 本文從數學文化這一視角，對高中數學課程設計提供了三個方面的觀點，即時代背景、數學思想、數學家故事，并以《圓錐曲線》一章為個案，依據高中教材的特點，對數學思想史在高中課程中的編寫和滲透，提出了與素質教育和創新教育相契合的觀點和看法。

關鍵詞： 文化背景 數學文化 數形結合 數學家軼事

今天，數學作為一種文化的觀念已得到較為廣泛的認同，1998年，國際數學家聯盟（IMC）主席D.B芒福德在柏林國際數學家大會開幕式致詞時，表達了數學作為一種文化的看法，他說：“我們在向世界解釋什么是數學或論述數學的正當地位時，通常會舉一些重大發明的實例，以指明若無數學的幫助，它們是不會出現的，但是把數學孤立在這種基座上的觀念過于狹隘，有一種更廣泛的社會基礎的觀點：數學和數學家深深地根植于人類的文化中。”數學思想作為數學文化的重要組成部分，在中學數學教學中成為值得關注的亮點。

高中新課程理念所倡導的“人人學有價值的數學，不同的人在數學上得到不同的發展”，在大眾教育已經深入人心，教育改革不斷深化之際，挖掘數學教育的文化價值，使之更好地為數學教學服務成為當務之急。

以下以圓錐曲線的教學為例，對這一問題進行探討。

圓錐曲線作為平面解析幾何的重要組成部分，在高中數學課程中，其嚴密的邏輯體系堪稱經典。如何讓學生了解圓錐曲線發展的歷史和解析幾何所蘊含的數學思想呢？這需要我們根據中學生的特點，選擇適當的內容，在原有課程內容的基礎上，去添加、整合，讓現行的高中教材更豐富、深動，使之散發出理性和人文的光輝。

我想大致從三個方面，即數學家故事、解析幾何思想和解析幾何的時代背景等幾個方面和不同視角，向學生滲透解析幾何的文化內涵。在圓錐曲線的開始部分，讓學生了解解析幾何產生的時代背景和數學思想，在這一章的最后，加入費馬和笛卡爾兩位數學家的故事，前后呼應，使教材在數學的歷史長卷中，呈現出豐富性、立體性和文化性。

一、解析幾何思想文化透析

（一）數形結合的思想。

1.數形結合是中國傳統數學的基本思想與方法

在中國傳統數學中，本質上并不存在代數與幾何的嚴格區分，在絕大多數場合，二者是結合在一起的，中國傳統數學從《九章算術》到宋元數學，慣于用代數學方法解決幾何問題，即“幾何代數化”。

從劉徽對開元術的幾何解釋，到王孝通《緝古算經》中三次方程的幾何意義、一般高次方程的幾何來源等，都是“代數幾何化”的表征。［１］

解析幾何最早又稱為坐標幾何，是由17世紀法國數學家笛卡爾和費馬共同創立的，這兩位數學家敏銳地看到了歐氏幾何的局限性，認識到利用代數方法研究幾何問題，是改變傳統方法的有效途徑，開始了各自的研究工作，把代數方程和曲線、曲面的研究聯系在一起，奠定了坐標研究幾何的基礎。［４］由此，有必要在一章的開首，讓學生了解到解析幾何研究問題的方法及其基本的思想淵源。

（二）轉換的思想與數學的人文美。

我認為在圓錐曲線一章，體現了以下兩種數學轉換的思想，而這兩種思想在解決數學問題和實際問題中，都有著廣泛的應用。一方面是從常量到變量的數學思想。人們普遍認為，從古到今，整個數學的發展，大體可以分為五個時期：數學蔭芽時期，初等數學時期，變量數學時期，近代數學時期，現代數學時期。解析幾何實際上是初等數學向近代數學過渡的時期，因為變數的引進，是數的一個轉折點，它把整個數學從一個低級階段推向了更高的發展階段，有了變數，才有了后來的微積分。［２］另一方面是坐標系和曲線方程的思想。解析幾何的基本思想是在平面上引進所謂“坐標”的概念，并借助于這種坐標，在平面上的點和有序實數對（x，y）之間建立起一一對應的關系，以這種方式可以將一個代數方程與平面上一條曲線對應起來，于是幾何問題歸結為代數問題。反之，通過對代數問題的研究，發展新的幾何問題。［３］比如笛卡爾在這一思想基礎之上，提出曲線的次數與坐標軸的選擇無關，坐標軸的選取應使曲線方程盡量簡單，利用曲線的方程表示來求兩條曲線的不同交點，以及曲線的分類等。讓學生體會到數學上任何獨特的創意，都有可能導致一種數學的分支和為數學問題提供更好的解決方式。這一點，最好在教學過程中，不斷讓學生認識到數學轉換的思想為我們帶來的數學的本真、簡潔和優美。

二、解析幾何時代背景的文化設計

讓高中生了解解析幾何所處的時代背景，可以培養學生站在當時的社會、文化、歷史和現實的基礎之上，客觀辯證地看待數學發展的進程，從中了解到更多科學家為解析幾何所做的漫長工作，對數學的科學性和數學本質真正產生尊重和興趣。我認為可從以下三個方面切入，即歐州文藝復興這個大的背景，兩個重要數學家為之所做的工作，以及解析幾何自身的局限性。這部分內容，放在這一章的最后，以通俗易讀的方式呈現給學生，以加深學生對平面解析幾何的整體把握，養成深厚的數學素養。

（一）歐州文藝復興卷起的狂飆，創造出了資產階級的新文化。

歐州文藝復興時期在文學、繪畫、音樂、建筑、天文學等領域成就卓著，理性之花，碩果累累。［４］從以下羅列的部分數學方面的重要發現，便可豹窺一斑。

（1）波倫亞大學數學教授費羅大約在1515年，發現了一類特殊的三次方程的解法。

（2）米蘭學者卡爾丹的《大法》中，收錄了塔塔利亞另一類三次方程的解，他的學生費拉在1540年得出了關于四次方程的解法，不過費拉只討論了有限的幾類四次方程，通過引入新變量，將其轉化為可解的三次方程。

（3）在法國，韋達先后發表《分析引論》（1591），《論方程的整理與修正》（1615），及《有效的數值解法》（1600）等方程論著作，給出了代數方程的似解法，與代數式方程分解因式解法。數學符號化體系要歸功于韋達，正是符號體系的建立，才使代數成為一門獨立的學科，這對于數學本身，以及后來分析的發展，都至關重要。［４］

（4）透視與射影：因天文計算的需要，人們開始重新審視希臘人的圓錐曲線。文藝復興時期，描繪現實世界成為繪畫的重要目標，畫家要將三維現實世界繪制到二維的畫布上，導致透視學的興起，也催生出射影幾何學。

（5）英國數學家納皮爾在他的《對數算術》（1621）中編制了常用對數，大大減輕了計算的工作。

（6）再往前看，坐標法在古希臘（繪制地圖）和羅馬（測量地形）都出現過，14世紀，法國學者N.奧雷斯姆也用過坐標的方法，并寫出了直線的方程，但其思想和方法都很零散，缺乏完整性。

（7）提出幾個生活時期部分與笛卡爾交疊的杰出人物：帕斯卡、莎士比亞、伽利略、密爾頓、哈維。

可以說，到16世紀末17世紀初，整個初等數學的主要內容已基本定型，文藝復興所促成的東、西方數學的融合，為近代數學的興起及后來的快速發展鋪平了道路。這一切都為幾何學新理論的產生提供了契機。

（二）笛卡爾與費馬的不同工作。

很多教材在談論解析幾何的工作時，都會談到笛卡爾與費馬，但是對兩人所做的工作是相同還是不同卻很少談及。

笛卡爾是從哲學的高度去認識數學，并決心創造一種新的數學而引進變數，在幾何方面是以帕斯卡問題研究開始的（即軌跡問題），側重于代數方程根的構造。

費馬是在阿波羅尼圓錐曲線問題的研究中引入變數，并使用了傾斜坐標系，建立了圓錐曲線的代數表達式，獨立于笛卡爾發現了解析幾何一般原理。他側重于不定方程解的作圖。

從費馬與帕斯卡·羅伯瓦爾的通信中可知，早在笛卡爾的《幾何學》（1637）發表之前，費馬已經提出了研究曲線方程的一般方法：

“毫無疑問，古人對軌跡寫得非常多……但是，如果我沒有想錯的話，他們對于軌跡的研究并非是那么容易的，原因只有一個，這就是由于他們對軌跡沒有給予充分而又一般的表示的緣故。”［１］

顯然，笛卡爾和費馬在對解析幾何的研究上，殊途同歸，共同創立了解析幾何。其后又經歷了一個多世紀的發展和創新，逐步形成了解析幾何的系統理論，并由平面進一步推廣到空間，極大地擴展了數學領域，為空間觀念的變革鋪平了道路，也為科學發現提供了有力的數學工具。

（三）解析幾何的局限性。

以現代人的眼光來看，《幾何學》還算不上一本真正的解析幾何，因為它的坐標軸不是縱橫兩條坐標軸構成一個“十字架”，當時，根本就沒有坐標這個概念，因此，笛卡爾最杰出的貢獻是引入新的思想——形數結合。而《幾何學》中一些不完整的部分，以及某些比較晦澀的論斷，經后來人們的不斷完善，才有了今天的解析幾何。在一百多年后，克拉美的《代數曲線分析引論》中才正式引入Y軸，“坐標”與“縱坐標”這兩個詞，萊布尼茨分別在1692年與1694年首先創用，而“橫坐標”一詞，一直到十八世紀才由沃爾夫引入。

三、數學家軼事在課程設計中的人文意義

以往的教材體系中“硬”的成分太多，“軟”的成分太少，教材要充分體現“人性”的光輝，并在更寬的層面上提高教材的文化含量，我認為，在中學教材中引入數學家軼事很有必要。

其實，圓錐曲線所涉及的兩位數學家都有許多趣聞佚事，流傳的版本也非常之多，從中我們可以讀到他們做為普通人生活的一面。如果我們只是講數學家如何如何成功，發表了多少多少著作，而不去了解他們的另一面是什么樣子，勢必對數學家產生“遙遠的距離”感，以至于使數學本身都偏離我們的生活之外。

貝爾在《數學大師》中對笛卡爾和費馬的介紹我認為比較全面。但根據中學生的特點，他們的世界觀才基本形成，容易受到外圍事物的干擾，對于笛卡爾曾經一度沉迷賭博、女人，可以作程度較輕的敘述。

“我只要求安寧與平靜”，笛卡爾的故事正是從他說的這句名言開始，去搜尋他自由的一生。比如“從小到大，想睡多久就睡多久，喜歡在孤獨中冥想的平靜”，還有“他之喜歡數學，就像一朝發現了自己的翅膀的鳥兒之喜歡天空”，［５］等等，全書充滿著這樣感性親切的描述。

當然也有關于他多次加入軍隊打仗，期間充滿對生活和戰爭的厭倦。其中還講到1619年11月1日，在圣馬丁之夜，笛卡爾所做的三個生動的夢和后來人們對這三個夢的神秘闡釋，以及先后成為伊麗薩白公主和瑞典女王克里斯蒂拉的私人老師所經歷的無奈和矛盾。特別是當伽俐略的“日心說”遭遇神學的反對，被送上宗教法庭的時候，笛卡爾表現了作為普通人應有的懼怕，而沒有出版《論世界》，等等。

我想通過對笛卡爾的全面解讀，學生會潛移默化地感知數學家的個性魅力，對數學學習產生無限的親近。

在圓錐曲線中不得不提到另一個最偉大的數學家——費馬，“并不是所有我們的鴨子都能變成天鵝”，費馬作為最杰出的業余數學之王，在解決了微積分和解析幾何中他最感興趣的部分后，并不像笛卡爾和帕斯卡為關于上帝、人和宇宙的哲學所吸引，而是繼續自由地把他的剩余精力奉獻給他最喜歡的消遣——純數學，并在數論、概率、微積分方面都做出了偉大的貢獻。

貝爾的書中更多地談到費馬的為人：“他一生過著平穩和安靜的生活，避開無益的爭執”，他先后擔任過晉見接待官、地方議會的議員。“然而，這個過著平靜的一生的、誠實、和氣、謹慎、正直的人，有著數學史上最美好的故事”。從這些描述中，我們可以看到貝爾對費馬的無限偏愛。我想學生在讀到這些故事的時候，會不自覺地有所感悟。費馬的成就很多，最出名的就是數論中的費馬大定理，這個費馬寫在書邊空白處的定理，曾一度被認為是一個“美妙的錯誤”，因為它吸引了像歐拉、高斯這樣世界一流的數學大師的參與竟未得結果。巴黎科學院設獎懸賞數次，仍然是同樣結局。數學家佛爾夫斯克爾在皇家科學會懸賞10萬馬克之后，又過了九十年，依然沒有得到證明。

直到1994年，由普林斯頓大學的安德魯·懷爾斯無可辯駁地證明了費馬大定理。這是不是應了笛卡爾在《幾何學》最后所寫下的話：“我希望后人將給我以好評，不僅因為我已經說明了的東西，而且因為我有意省略，以使他人也能體驗發現樂趣的東西。”至于費馬大定理的證明過程，是不是大師的“有意省略”之筆，就讓它成為歷史的玄秘吧。

在有關費馬的故事中，我認為還可以補充“費馬數之謎”這一部分。我們可以從中了解到數學發現的過程，既有趣又繁復，如果沒有對數學的濃厚興趣，是不可能有所建樹的，什么是費馬數呢？費馬數就是在1640年，費馬發現了素數公式：f（2n）=2²ⁿ+1。1801年，19歲的高斯證明了一個具有費馬素數個邊的正多邊形，一定可以用尺規作出，他第一個作出了正十邊形尺規作法，并要求將正十邊形的圖形刻在自己的墓碑上。

后來，又有數學家作出了正257邊形，作圖過程長80頁，還有個數學家作出了正65537邊形，作圖過程放滿了一個手提箱，手稿保存在哥廷根大學，等待尺規作圖新紀錄。

“費馬數之謎”會讓學生看到數學家的執著和對待數學的科學精神。

參考文獻：

［1］劉潔民.數學思想史講義——中國傳統數學專題.

［2］李小軍，翁方愚.數學與數學家故事.中國鐵道出版社.

［3］李文林.文明之光——圖說數學史.山東教育出版社團組織，2005.4.

［4］武錫明，郭宗明.數學史與數學教育.

［5］貝爾.數學大師.上海科技出版社，2004.12.