也談優(yōu)化解析幾何運(yùn)算的方法

解析幾何教學(xué)內(nèi)容的特殊性決定了解析幾何是培養(yǎng)良好計(jì)算能力所起的特殊作用，在解析幾何教學(xué)中不僅要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算的準(zhǔn)確性，還要訓(xùn)練、培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算的迅速性和運(yùn)算方法的合理性。教學(xué)中各種解題方法和思想的滲透是實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)的必要條件。解題方法是否得當(dāng)，常常導(dǎo)致解題的難易、繁簡(jiǎn)程度的懸殊差異。因此在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生探求、優(yōu)化運(yùn)算的方法和技巧，滲透各種運(yùn)算方法和思想，降低運(yùn)算量，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，提高解題和運(yùn)算能力，下面談?wù)剛€(gè)人的一點(diǎn)想法。

一、 回歸定義

回歸定義是解數(shù)學(xué)題的常用方法，與圓錐曲線的焦點(diǎn)，焦半徑，準(zhǔn)線有關(guān)問(wèn)題，應(yīng)聯(lián)想到圓錐曲線的定義，用第一定義或第二定義解決。

例1. 以知雙曲線16x2－9y2=144，設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)。點(diǎn)P在這雙曲上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小。

解析：涉及到焦點(diǎn)與半徑問(wèn)題應(yīng)考慮使用定義解題，由于2c=10以及||PF1|－|PF2|=2a 和|PF1|·|PF2|=32，知|PF1|2+|P F2|2=100=|F1F2|2，所以∠F1PF2=90°。

二、 設(shè)而不求的整體化處理

在圓錐曲線中，常會(huì)遇到兩曲線的交點(diǎn)及相關(guān)點(diǎn)的問(wèn)題，若用通常的方法通過(guò)解方程組求得交點(diǎn)，往往運(yùn)算量大且極易出錯(cuò)。若采用該法使用整體思想，即可解答變得十分簡(jiǎn)潔。

例2. 雙曲線x2－y2=1與直線L：y=kx+1相交于B、C兩點(diǎn)，且B、C兩點(diǎn)在以雙曲線的右頂點(diǎn)為圓心的同一圓上，求k的值。

解析：這是一道涉及到直線與圓錐曲線的交點(diǎn)的問(wèn)題，解答時(shí)采取對(duì)交點(diǎn)設(shè)而不求的策略。

解：設(shè)B（x1，y1）C（x2，y2），

由方程組x2-y2=1與y=kx+1，得(1-k2) x2-2kx-2=0

當(dāng)d=3/2時(shí) 此時(shí)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離也最小。

四、 運(yùn)用曲線系方程

曲線C1和曲線C2的方程分別為f1(x，y)=0，f2(x，y)=0。那么過(guò)C1和C2的每一個(gè)交點(diǎn)的曲線為f1(x，y)+m f2(x，y)= 0中，在解題中，合理運(yùn)用曲線系方程，可化難為易，避開(kāi)煩瑣的運(yùn)算。

例4. 求過(guò)直線 x+2y－2= 0和圓x2+y2－2x－2y+1= 0的交點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的圓的方程。

分析：若先求出交點(diǎn)再求圓的方程，運(yùn)算量大。可運(yùn)用曲線系方程來(lái)解決。

解：因?yàn)樗蟮膱A經(jīng)過(guò)直線和已知圓的交點(diǎn)，故設(shè)所求圓的方程為(x2+y2-2x-

五、 巧用對(duì)稱(chēng)，化繁為簡(jiǎn)

解析幾何中許多問(wèn)題都涉及到對(duì)稱(chēng)，如光線反射，角平分線，垂直平分線等，巧妙運(yùn)用對(duì)稱(chēng)，可使思路明了清晰，問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)。

例5. △ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是A（3，-1），∠B，∠C的平分線分別是x=0，y=x，求直線BC的方程。

分析：在本題中，把角平分線的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，則能使思路清晰，避繁就簡(jiǎn)(解略）。

六、 巧用韋達(dá)定理

解析幾何中涉及到弦長(zhǎng)，弦中點(diǎn)，曲線與直線交點(diǎn)以及原點(diǎn)為垂足的垂直問(wèn)題，運(yùn)用韋達(dá)理可避免求交點(diǎn)坐標(biāo)，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

例6. 直線C：y=kx+1交拋物線y= x2于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)三角形AOB (O為原點(diǎn))的面積為2時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值。

分析：因直線C與y軸的交點(diǎn)為M(0，1)，而△AOB的面積等于△AOM和△BOM的面積之和，若△AOM和△BOM都以O(shè)M為底邊，這樣△AOB面積就與A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)相聯(lián)系。

解：設(shè)A(x，y)，B(x，y)，則：

因?yàn)锽(1，1)是M1、M2的中點(diǎn)，所以x1+x2=2，y1+y2=2 代入上式得，即kn=2。

若直線n存在，則方程為 y-1=2(x-1)，即：2x-y-1=0

把2x-y-1=0代入雙曲線方程中得，x2-4x+3=0。又因?yàn)槠渑袆e式△=-8＜0 ，

故此直線與雙曲線不相交，所以滿(mǎn)足條件的直線不存在。（貴州天柱三中）