對一道習題的深入探究

新課改要求我們改變舊的課堂教學模式，取而代之的是探究式的教學模式。而我們在平常的教學當中經常要用到的是對習題和練習題的探究。下面我以一道小題為例，淺談我對新課改的一點感悟。

例題：已知：如圖1銳角三角形ABC，分別以AB，AC為邊向外作等腰直角三角形ABD，ACE，且AB=AD，AC=AE，連接DC，BE，試探究DC和BE的關系。

提示：利用邊角邊可以證明△ADC≌△ABE，則可知DC=BE，∠ADC=∠ABC，又由于∠AFD=∠BFC，所以∠BOF=∠DAB=90°，即DC⊥BE，所以DC和BE的關系是垂直且相等。

在我們的證明過程中，我們用到的是特殊的三角形——等腰直角三角形，我們不妨將所給的條件變換一下，只要能保證還能運用邊角邊來證明全等就可以，所以我們想到了等邊三角形和頂角相等的等腰三角形。具體的請看下面的解釋。

變式1：已知，如圖2銳角三角形ABC，分別以AB，AC為邊向外作等邊三角形ABD，ACE，連接DC，BE，試探究DC和BE的數量關系和∠DOB的度數。

證明方法同上面相似。

變式2：已知，如圖3銳角三角形ABC，分別以AB，AC為腰向外作等腰三角形ABD，ACE，且AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC

=α°，試探究DC和BE的數量關系和∠DOB的度數（用α來表示）

易證DC=BE，∠DOB=α°。

把以上三個圖形作為基本圖形進行進一步的拓展，可以運用已得到的結論解決新的問題。

變式3：已知：如圖4銳角三角形ABC，分別以AB，AC為邊向外作等腰直角三角形ABD，ACE，且AB=AD，AC=AE，連接DC，BE，分別取DB，BC，CE的中點F，G，H，試探索FG，GH的數量關系和∠FGH的度數。

由三角形中位線的性質可知FG∥DC，FG=1/2DC，GH∥BE，GH=1/2BE，由變式1可知DC=BE，∠DOB=90°，

所以FG=GH，FG，GH，CD，BE圍成一個平行四邊形，所以∠FGH=∠BOC，又因為∠DOB=90°所以∠BOC=180°-90°=90°，所以∠FGH=90°。

變式4：已知，如圖5銳角三角形ABC，分別以AB，AC為邊向外作等邊三角形ABD，ACE，連接DC，BE，分別取DB，BC，CE的中點F，G，H，試探索FG，GH的數量關系和∠FGH的度數。

變式5：已知，如圖6銳角三角形ABC，分別以AB，AC為腰向外作等腰三角形ABD，ACE，且AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=α°， 分別取DB，BC，CE的中點F，G，H，試探索FG，GH的數量關系和∠FGH的度數。

由三角形中位線的性質可知FG∥DC，FG=1/2DC，GH∥BE，GH=1/2BE，由變式1可知DC=BE，∠DOB=α°，

所以FG=GH，FG，GH，CD，BE圍成一個平行四邊形，所以∠FGH=∠BOC，又因為∠DOB=α°所以∠BOC=180°-α°，所以∠FGH=180°-α°。

由變式5，我們可以將兩個等腰三角形繞共同的頂點旋轉，于是我們又可以得到以下兩個圖形。

一道簡單的例題，我們可以經過一系列的深入探究將其復雜化，這種復雜不是單純的死拉硬拽，而是符合幾何學習方法的一種變化，它蘊涵著對問題條件的變化和對幾何圖形的變換，從中我們可以發現幾何圖形之間的內在聯系和解題方法的大同小異，有助于我們更好地掌握學習幾何的通法，增強學習幾何的能力。

（瓦房店市）