“看似遺憾，實(shí)卻精彩”的一堂數(shù)學(xué)課

筆者聽了一堂“線性規(guī)劃”課。從同行們的言語(yǔ)中，感受到對(duì)它的不屑。但在我眼中，這卻是一堂“看似遺憾，實(shí)卻精彩”的數(shù)學(xué)課?，F(xiàn)以其教學(xué)實(shí)錄為例，談?wù)勛约旱母邢搿?/p>

1. 教學(xué)設(shè)計(jì)框架

2. 教學(xué)實(shí)錄

2.1構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

師：現(xiàn)在我們一起來(lái)解決實(shí)際生產(chǎn)中遇到的這么一個(gè)問(wèn)題……(停留幾分鐘讀題、思考)

師：解決問(wèn)題應(yīng)該以什么作為突破口？

生：當(dāng)然是所要求的問(wèn)題。

師：對(duì)。那本題的問(wèn)題是什么？能否具體一點(diǎn)？和哪些量有關(guān)？

……

師：這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，能否用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述它們之間的關(guān)系？

生1：……

師：嗯，不錯(cuò)。已知條件還告訴我們哪些信息？它們之間有什么聯(lián)系？能否也將它們轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言？(詳細(xì)過(guò)程略)

師：對(duì)。具體來(lái)說(shuō)，就是……

生：……

師：好。回過(guò)頭檢查一下還有沒(méi)有漏掉的條件？

生：好像沒(méi)有了，條件都用完了。

生：(恍然大悟)哦，還要注意x、y要有實(shí)際意義，還得非負(fù)。

師：很好!……這和我們以前見(jiàn)過(guò)的最值問(wèn)題有什么不同？

……

師：對(duì)。變量最高次數(shù)都是一次……把這類問(wèn)題稱為線性規(guī)劃問(wèn)題。

生：(心情很愉快)哦！原來(lái)如此。

2.2 數(shù)學(xué)模型求解

2.2.1問(wèn)題轉(zhuǎn)化

師：我們的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在這個(gè)約束條件下，求z=3x+2y的最大值。怎樣求呢?

生2：前面我們學(xué)過(guò)這個(gè)約束條件它表示一個(gè)平面區(qū)域，先把平面區(qū)域表示出來(lái)再作打算。

師：還想到了什么？

生2：我在想：圖像和目標(biāo)函數(shù)有什么聯(lián)系？一個(gè)是圖像，另一個(gè)是函數(shù)式。

師：你能發(fā)現(xiàn)這點(diǎn)已經(jīng)很不錯(cuò)了。(停頓一會(huì)兒)一個(gè)是形，一個(gè)是數(shù)，怎樣統(tǒng)一？

生3：(突然發(fā)現(xiàn))z=3x+2y的圖像也是直線。

師：何以見(jiàn)得？能給大家解釋一下嗎？

……

師：能在坐標(biāo)系下找出z的幾何意義嗎?

生4：將目標(biāo)函數(shù)改寫成截距式……

師：很好！很好！到此我們所求的問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化成怎樣的問(wèn)題？大家能不能將其敘述一下？

生：?jiǎn)栴}就轉(zhuǎn)化為……

2.2.2具體求解

學(xué)生動(dòng)手求解，師巡視，選擇具有代表性的三位學(xué)生在黑板上展示他們求解過(guò)程。生A圖像不正確且沒(méi)有答案，生B圖像與答案均不正確，生C全正確。

2.2.3反思優(yōu)化

師請(qǐng)三位同學(xué)解釋解題過(guò)程，生A講述了自己的難點(diǎn)。

師：生C，你能給生A作示范，怎樣從圖像上看答案嗎？(稍后繼續(xù)提問(wèn))生B、生C為什么同樣的方法卻得到兩種不同結(jié)果呢？(生B通過(guò)自我反思，發(fā)現(xiàn)是作圖產(chǎn)生了誤差。)

師：(追問(wèn))為什么會(huì)發(fā)生誤差？

生B：因?yàn)槲覀冏鞯氖遣輬D，沒(méi)有嚴(yán)格用直尺來(lái)畫，所以產(chǎn)生誤差。

生5：如果都用直尺來(lái)畫，那不是很花時(shí)間嗎？

師：如何解決這個(gè)矛盾呢？(稍停)大家可以仔細(xì)想想，什么情況下發(fā)生誤差的可能性最大？

生：當(dāng)……

師：嗯。不錯(cuò)，直線靠得比較緊密的時(shí)候，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述就是……

生：就是斜率相差不大的時(shí)候。

師：非常好，抓住了問(wèn)題的關(guān)鍵。事實(shí)上，我們作草圖時(shí)就需要抓住它們直線斜率的關(guān)系。尤其是過(guò)臨界點(diǎn)的時(shí)候……(師抓住機(jī)會(huì)，進(jìn)行示范)

2.2.4思維發(fā)散

(1)本題還有沒(méi)有其他解法？這些解法可以推廣嗎？

(2)如果目標(biāo)函數(shù)斜率變化，結(jié)合圖像，你能說(shuō)出取得最大值的情形有幾種嗎？

2.3歸納總結(jié)

師生一起回顧建模、求解、反思過(guò)程，用精煉的語(yǔ)言總結(jié)出圖解法求解的步驟及注意事項(xiàng)。

3. 對(duì)本節(jié)課的幾點(diǎn)感悟

這堂課表面看確實(shí)有太多的遺憾：從課堂容量看，一節(jié)課僅僅講了一個(gè)題；從教學(xué)環(huán)節(jié)看，少了練習(xí)與鞏固這一重要環(huán)節(jié)；從高考備戰(zhàn)看，連高考題的影子都沒(méi)見(jiàn)。但從筆者的角度看，這才是一堂精彩的數(shù)學(xué)課，表現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：

3.1重視數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建

在教學(xué)中，“線性規(guī)劃”往往被脫掉“應(yīng)用”的外衣，用一個(gè)純數(shù)學(xué)的問(wèn)題代替直接進(jìn)行求解、變形。而本堂課正體現(xiàn)課標(biāo)的理念，以“問(wèn)題為紐帶”，引導(dǎo)學(xué)生如何將問(wèn)題中涉及的信息用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來(lái)，如何構(gòu)建一個(gè)數(shù)學(xué)模型。雖然本節(jié)課不是一堂真正意義上的數(shù)學(xué)建模課，但它這種“力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的作用”“重視學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)”的意識(shí)是非?？少F的。

3.2重視學(xué)生的思維過(guò)程

“注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”是高中課程基本理念之一。了解學(xué)生真實(shí)的思維過(guò)程是提高數(shù)學(xué)思維能力的關(guān)鍵。本堂課：(1)教師通過(guò)追問(wèn)，如“何以見(jiàn)得？能給大家解釋一下嗎”去挖掘?qū)W生深層次的想法；(2)鼓勵(lì)學(xué)生“大聲地出聲想”，查找“受阻點(diǎn)”，如：生A，完成的情況很糟，但不是簡(jiǎn)單否定，而是給他機(jī)會(huì)說(shuō)出難點(diǎn)所在；同時(shí)也給完成情況好的生C機(jī)會(huì)，作了一次較高水平的示范。通過(guò)這些方式，充分暴露學(xué)生的思維過(guò)程，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，同時(shí)使學(xué)生不斷對(duì)自己的思維進(jìn)行反思調(diào)控，促進(jìn)學(xué)生思維能力的提高。

3.3保持問(wèn)題的復(fù)雜性，通過(guò)搭腳手架給予幫助

教師在教學(xué)過(guò)程中，始終保持問(wèn)題的復(fù)雜性。當(dāng)學(xué)生遇到困難時(shí)，(1)教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)啟發(fā)性的問(wèn)題，如：“已知條件還告訴我們哪些信息？它們之間有什么聯(lián)系”“一個(gè)是形，一個(gè)是數(shù)，該如何統(tǒng)一”，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性；(2)先讓學(xué)生去想，動(dòng)手去“犯錯(cuò)誤”，在學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”精心創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生走出“低谷”。如：“作草圖時(shí)要抓住直線斜率”這一環(huán)節(jié)，因?yàn)閷W(xué)生一般都習(xí)慣用描點(diǎn)法作圖，而不會(huì)從“斜率”這點(diǎn)去思考，所以教師就通過(guò)設(shè)置“什么情況下發(fā)生誤差的可能性最大”的問(wèn)題，學(xué)生從中可以發(fā)現(xiàn)“直線靠得比較緊密的時(shí)候，發(fā)生誤差的可能性最大”，從而順利地將目光集中到“斜率”上了。

3.4重視學(xué)生反思

在教學(xué)過(guò)程中，教師不斷通過(guò)問(wèn)題來(lái)促使學(xué)生反思。如“回過(guò)頭檢查一下還有沒(méi)有漏掉的條件？”在模型求解的最后一個(gè)環(huán)節(jié)，通過(guò)暴露問(wèn)題和矛盾，促使學(xué)生對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行反思優(yōu)化。最后對(duì)整堂課進(jìn)行歸納總結(jié)，實(shí)際上也是一個(gè)反思的過(guò)程。

除此之外，教師也很注重及時(shí)反饋學(xué)生的回答，注重對(duì)學(xué)生成績(jī)的肯定，增強(qiáng)學(xué)生解決問(wèn)題的信心。筆者認(rèn)為，偶爾組織一下這種別開生面、令人耳目一新的數(shù)學(xué)課，何嘗不可呢？

參考文獻(xiàn)：

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[4]王策三.教學(xué)認(rèn)識(shí)論[M]. 北京:北京師范大學(xué)出版社.

(西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院)