概率統計教材中一道例題的商榷

摘要：本文指正了《概率與數理統計》一書中一道例題的錯誤之處。

關鍵詞：數學期望；反常積分；奇函數。

一、引言

由常柏林、李效羽、盧能芳、錢能生等人編著的《概率與數理統計》一書，是教育部高職高專規劃教材。該書內容編排合理、深淺適中，更兼文筆流暢，敘述簡明易懂，贏得了眾多學子的喜愛。我校在專科生中開設的《概率論與數理統計》、《工程數學》等課程中，均選用該書作為主教材，教學效果相當不錯。但該書中有一道例題，其求解方式筆者認為不妥，現將自己的想法記錄下來，以期與該書作者商榷。

二、教材摘錄

為了行文方便，現將筆者認為原書有問題的部分（教材51頁例3）抄錄如下（矩形框內的部分）：

三、正確解法

四、 二者對比

顯然，最后求得的期望均為0。

二者有何區別？二者的區別就在于筆者是據反常積分的定義老老實實一步步推導出來的，而原解卻是用“奇函數在對稱區間上的積分為0”這一結論獲得的。

五、 問題所在

筆者認為，原解中所提到的“奇函數在對稱區間上的積分為0”這一結論用在這里是錯誤的。按原解的敘述，“奇函數”無疑是指 對稱區間”中的“對稱”也應該是指“關于原點對稱”，而“對稱區間”究竟何指？筆者只好妄加猜度，應該不外下面兩種情形：

第一種情形，“對稱區間”是指(-∞，+∞)。

第二種情形，“對稱區間”是指[-t，t]。

但不論哪種情形，均是錯誤的，自己的觀點如下：

假如是第一種情形，“對稱區間”是指(-∞，+∞)，且不說稱(-∞，+∞)為“對稱區間”是否恰當，即便可以稱為“對稱區間”，定積分所特有的“奇函數在對稱區間上的積分為0”仍然是不能推廣到反常積分上的。

一個典型的反例如下：

參考文獻：

[1]常柏林等.概率與數理統計[M](第二版).北京:高等教育出版社，2001.

[2]同濟大學數學系編. 高等數學(上冊)[M](第六版). 北京：高等教育出版社，2007.

（徐州工程學院數理學院）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。