巧妙構(gòu)造函數(shù) 解決實(shí)際問題

函數(shù)解析式揭示了兩變量之間的關(guān)系，構(gòu)造并研究函數(shù)關(guān)系式是解決許多實(shí)際問題及數(shù)學(xué)問題的最有效的方法。但許多函數(shù)問題由于函數(shù)解析式復(fù)雜、抽象，無法直觀地通過圖像或借鑒熟悉的函數(shù)性質(zhì)解決，給學(xué)生解決問題帶來困擾。本文試圖通過常見幾種類型函數(shù)問題的探討，尋求解決此類問題的思路和思想方法。

一、利用抽象函數(shù)關(guān)系式構(gòu)造熟悉函數(shù)并解決問題

抽象函數(shù)問題是指沒有具體的函數(shù)關(guān)系式（主要是一次函數(shù)、二次函數(shù)、指對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)等），給出的是一個(gè)該函數(shù)性質(zhì)類的關(guān)系式，要求研究該函數(shù)的其他性質(zhì)。

例1：已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x＞0時(shí)，f(x)＜0，f(1)=-2，則f(x)在［-3，3］上的最大值為?搖?搖?搖，最小值為?搖?搖?搖。

［析］構(gòu)造函數(shù)f(x)=kx，由已知條件知k=-2。數(shù)形結(jié)合得最值。

類似題：已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1003)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2005)=2006。

［析］構(gòu)造函數(shù)f(x)= x。

例2：設(shè)f(x)是定義在(0，+∞)上的增函數(shù)，且f( )=f(x)-f(y)，若f(2)=1，則f(4)= 2 。

［析］構(gòu)造函數(shù)f(x)=log2x，則f(4)=log24=2。

類似題：已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)對任意的實(shí)數(shù)x，y滿足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy，且f(0)=1，f( )=0。給出下列結(jié)論：①f( )= ；②f(x)為奇函數(shù)；③f(x)為周期函數(shù)；④f(x)在(0，π)內(nèi)為單調(diào)函數(shù)。其中正確的結(jié)論是③④。（填上所有正確結(jié)論的序號）

［析］構(gòu)造函數(shù)f(x)=cosx。

當(dāng)然，這只是題設(shè)函數(shù)的特殊情況，用以推測題設(shè)函數(shù)的性質(zhì)，具體問題還要用一般方法解決（如賦值法、抽象函數(shù)關(guān)系式變式反復(fù)使用等解題技巧）。

二、巧妙換元后轉(zhuǎn)化為熟悉函數(shù)解決問題

許多問題所給函數(shù)解析式是一種復(fù)合函數(shù)，可以通過換元，利用內(nèi)、外函數(shù)的復(fù)合轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)解決問題。

（復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則是“同增異減”，即內(nèi)、外函數(shù)單調(diào)性相同，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，否則為減函數(shù)。）

例3：已知向量 =( ，-1)， =( ， )。

（1）若存在不為0的實(shí)數(shù)k和角α，α∈(- ， )，使 = +(tan α-3) ， =-k +(tanα) 且 ⊥ ，試求函數(shù)關(guān)系式k=f(α)； （2）對（1）中的k=f(α)，求k=f(α)，α∈(- ， )的極值。

［析］（1）k= tan α- tanα。（2）換元令x=tanα，構(gòu)造函數(shù)k= x - x(x∈R)，利用導(dǎo)數(shù)求得x=1，即α= 時(shí)k的極小值為- ；x=-1，即α=- 時(shí)k的極大值為 。

三、引進(jìn)恰當(dāng)?shù)淖兞繕?gòu)建函數(shù)解決問題，特別是實(shí)際問題

客觀世界從某種意義上講是變量的世界，解決許多實(shí)際問題可以通過收集、分析數(shù)據(jù)，引進(jìn)變量，構(gòu)造合理的函數(shù)關(guān)系式，通過研究構(gòu)造的函數(shù)關(guān)系式解決實(shí)際問題。

例4：請您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。

試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)Ｏ到底面中心Ｏ 的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？

［析］設(shè)OＯ 為xm，則1＜x＜4。

由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為 = ，（單位：m）

故底面正六邊形的面積為6#8226; #8226;( ) = (8+2x-x )，（單位：m ）

帳篷的體積為Ｖ(x)= #8226;(8+2x-x )#8226;［ （x-1）+1］= (16+12x-x )。（單位：m ）利用導(dǎo)數(shù)知識知，當(dāng)x=2時(shí)，V(x)最大為16 m 。

四、利用題設(shè)條件巧妙構(gòu)造熟悉性質(zhì)的函數(shù)，解決問題

許多問題所給函數(shù)關(guān)系式復(fù)雜，就其本身很難研究。但只要合理變形，就能構(gòu)造新的我們熟悉的函數(shù)，利用它們的性質(zhì)研究所給函數(shù)的性質(zhì)方便、快捷。

例5：已知函數(shù)f(x)= (x∈R)的最大值為M，最小值為m，則M+m=?搖?搖?搖。

［析］f(x)= +1=g(x)+1，g(x)= 為奇函數(shù)，g(x)的最大值與最小值的和為零，故M+m=2。

類似題：已知函數(shù)f(x)= 的最大值為M，最小值為m，則M+m=?搖?搖?搖。

［析］f(x)= +1=g(x)+1，g(x)為奇函數(shù)，M+m=2。

類似題：已知函數(shù)f(x)=6x +9x+1若f(a)+f(a-1)＞2，則a的取值范圍是?搖?搖?搖。

［析］構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-1=6x +9x為奇函數(shù)，為增函數(shù)。則由題有f(a)-1＞-［f(a-1)-1］，即g(a)＞-g(a-1)，g(a)＞g(１-a)。所以a＞1-a，解得a＞ 。

例6：如果(1+sin θ)sinθ＞(1+cos θ)cosθ，且θ∈(0，2π)，那么角θ的取值范圍是?搖?搖?搖。

［析］構(gòu)造函數(shù)f(x)=(1+x )x=x +x，則f′(x)=5x +1＞0，f(x)為R上的增函數(shù)。故由題知sinθ＞cosθ，而θ∈(0，2π)，所以θ∈( ， )。

類似題：使(log23) -(log53) ≥(log23) -(log53) ，則x，y的大小關(guān)系是?搖?搖?搖。

［析］ 構(gòu)造函數(shù)f(x)=(log23) -(log53) ，由于y =(log23) 為增函數(shù)，y =(log53) 為減函數(shù)，故f(x)為增函數(shù)，由題知f(x)≥f(y)，知x≥y。

例7：已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=x。當(dāng)x＞1時(shí)，求證：f(x)＞2g( )。

［析］構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-2g( )，利用導(dǎo)數(shù)知h(x)在(1，+∞)是增函數(shù)，故h(x)＞h(1)，得證。

五、利用題設(shè)條件巧妙構(gòu)造熟悉圖像的函數(shù)，解決問題

數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)類問題的基本思想方法。但實(shí)際問題中的許多函數(shù)往往很難描繪它的圖像。但很多情況下所給函數(shù)解析式可以合理變形，構(gòu)造新的熟悉圖像的函數(shù)，利用新函數(shù)的圖像研究、解決問題。

例8：已知函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)-1(a＜b)的兩零點(diǎn)為α，β(α＜β)，試比較a，b，α，β的大小。

［析］令g(x)=(x-a)(x-b)，g(x)的兩零點(diǎn)分別為a，b，g(x)的圖像下移一個(gè)單位即得f(x)的圖像，數(shù)形結(jié)合有α＜a＜b＜β。

例9：已知函數(shù)f(x)=6x +9x+1，若f(a)+f(a-1)＞2，則a的取值范圍是?搖?搖?搖。

［析］構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-1=6x +9x為奇函數(shù)，為增函數(shù)。則由題有f(a)-1＞-［f(a-1)-1］，即g(a)＞-g(a-1)，g(a)＞g(1-a)，所以a＞1-a，解得a＞ 。

其實(shí)，構(gòu)造熟悉的函數(shù)解決問題，實(shí)質(zhì)依然是轉(zhuǎn)化的思想，即化未知函數(shù)為熟悉函數(shù)，利用熟悉函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決問題。已有的知識經(jīng)驗(yàn)是解決未知問題的鑰匙，只有熟練掌握常見函數(shù)的圖像和性質(zhì)，理解函數(shù)的基礎(chǔ)知識，勤于思考，善于總結(jié)，勇于探索，才能找到解決問題的途徑，到達(dá)成功的彼岸。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>