如何打掉對數運算中的三個“攔路虎”

觀察對數運算性質的結構不難發現有以下三個特點：①底數相同；②真數是積、商、冪的形式；③可求同底數的兩對數的和與差，但在實際運算中卻時常遇到底數不同、真數是和或差的形式、求兩同底數的兩對數的積或商的情況，如何打掉這三個“攔路虎”呢？

一、底數不同

克服底數不同的困難主要有三種手段：（1）應用換底公式把不同底的對數都統一成相同底數；（2）把不同底的兩對數log b與log d分別看成函數f(x)=log x與g(x)=log x的函數值，在同一坐標系中畫出兩函數的圖像，利用數形結合的思想來研究；（3）利用對數和指數的相互轉化關系把對數問題轉化到指數問題上來解決。

例：若log 5＜log 5＜0，則（?搖?搖）

A.0＜a＜b＜1?搖?搖?搖B.0＜b＜a＜1?搖?搖?搖C.a＞b＞1?搖?搖?搖D.b＞a＞1

分析一：log 5與log 5是不同底的對數，無法應用運算性質來變形，可以用換底公式來統一成同底數的對數，這里不妨換成以10為底的對數。

解：∵log 5＜log 5＜0，∴ ＜ ＜0，∵lg5＞0，∴ ＜ ＜0

去分母可得lgb＜lga＜0，再把0變成以10為底的對數，則lgb＜lga＜lg1，所以0＜b＜a＜1。

分析二：由于log 5與log 5分別是函數f（x）=log x與g（x）=log x，當x=5的函數值，可以考慮在同一坐標系中畫出它們的圖像。

解：令f（x）=log x與g（x）=log x，因為log 5＜log 5＜0，所以點（5，log 5）、（5，log 5）都在x軸下方，且點（5，log 5）比點（5，log 5）要低，根據這兩個關鍵點可以畫出這兩個對數函數的草圖，如圖所示，根據同一坐標系中不同底數的對數函數圖像的分布特點（在第一象限內圖越往右底越大）可以得出0＜b＜a＜1。

分析三：可以根據對數式與指數式的關系把這個對數問題轉化成指數問題來解決。

解：令log 5=m，log 5=n，所以，a =5，b =5，m＜n＜0，顯然點（m，5）與（n，5）分別是指數函數y=a 與y=b 上的在y軸左側的點，且點（m，5）在點（n，5）的左邊，我們可以畫出這兩個函數的草圖，如圖所示。根據同一坐標系中不同底數的指數函數圖像的分布特點（在第一象限內圖越往上底越大）可以得出0＜b＜a＜1。

二、真數是和差的形式

面對真數是和差的形式時，主要有兩種處理方法:（1）把和差看成整體來對待;（2）從和差運算中變出積或商，從而應用運算性質來解決。

例2：判斷f（x）=lg（x+ ）的單調性。

分析一：f（x）與f（-x）的真數都是和差的形式，在對數的運算性質中無法處理這種情況，我們可以考慮把真數中的和或差看成整體來解決。

解：因為 ＞｜x｜≥-x，所以原函數的定義域是R，對任意x∈R，

f（-x）+f（x）=lg（-x+ ）+lg（x+ ）=lg1=0，

所以原函數是奇函數。

分析二：對于f（-x）=lg（-x+ ），真數是差，我們可以通過分子有理化的手段把真數變成商的形式。

解：因為定義域為R，對任意x∈R，

f（-x）=lg（-x+ =lg =-lg（x+ ）=-f（x），

所以原函數是奇函數。

三、計算同底數的兩對數的積或商

對數的運算性質對同底數的兩對數相乘或相除是根本無法解決的，解決此類問題的基本方法是化各對數為和差的形式，各個擊破以后再去尋找突破口。

例3：求值lg5lg20+lg 2

分析：利用對數運算性質無法直接計算式子中的lg5lg20與lg 2，我們可以考慮把其中的5與20看成積或商的形式，從而就可應用對數運算性質來計算。

解：lg5lg20+lg 2=lg #8226;lg（2×10）+lg 2=（1-lg2）（1+lg2）+lg 2=1。

點評：在把對數各個“擊破”時，要遵循變形后出現的未知對數越少越好的原則。在遵循這個原則的前提下，變形的方向可能會有多個，比如本例在把5與20看成積或商的形式時，是以2和底數10為目標進行變形，當然也可以以5和底數10為目標去變。

在對數運算中，遇到困難并不可怕，可怕的是遇到困難沒有合適的方法去解決，只有真正掌握好以上常見問題的解決方法，我們才能克服困難、提高運算能力！

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”