培養職高學生數學思維品質的教學探討

思維是人類大腦的一種高級而又極其復雜的運動，它是大腦對外界事物的反映和信息加工。可以說，人類的一切創造性的活動，都離不開思維。職高學生在思考問題時思路經常打不開，只顧圍著教師和書本轉，解題生搬硬套，還容易出錯，長此下去必然造成思維的定勢狀態，這對培養學生的思維能力會帶來很大的消極作用。

通過教學，教師要引導學生的思維由封閉狀態逐步轉化到開放狀態，使學生不僅能研究問題的本身，還能研究有關的其他問題。應當提倡立體思維，也就是多角度、多層次的思維，引導學生思考問題應當多方面地進行，如此既可開闊學生的思路，又可使學生得到新的啟發。下面筆者結合教學實踐談談培養職高學生思維品質的幾點看法和體會。

一、一題多解

例1：如圖，已知?荀ABCD中，E為BC的中點，F為CD的中點，試將向量 用 和 表示。

解法一：由于 處于△AEF中，∴ = - 。

又由于 處于△ADF中，

處于△ABE中，

∴ = + ， = + 。

所以 =（ + ）-（ + ）=（ +）-（ +）= （ - ）

這種方法是直接根據圖中箭頭的暗示得出的，解完后可讓學生進一步思考 還處于哪個三角形中，引導學生重新畫圖解題。

解法二： 還處于△CEF中，

例2：在20件產品中，有16件合格品，從中任取3件，其中至少有一件為次品的概率是多少？

解法一：正面思維。

設從20件產品中任取3件，其中至少有一件為次品為事件A，則至少有一件為次品的概率為P(A)= = 。

解法二：逆向思維。

設3件全是合格品為事件B，事件B發生的概率P(B)= = 。

事件B的對立事件可敘述為3件不全是合格品或至少有一件次品，則至少有一件為次品的概率為P( )=1- P(B)=1- = 。

實踐證明，通過一題多解訓練學生由多渠道、多角度求解同一個問題，這對開闊學生思路、活躍學生思維大有裨益，而且也有利于引導學生的思維向較高層次發展，去掌握解題方法的本質因素。

二、一法多用

運用解題思路，改變題目的條件和結論，使所學方法得到廣泛的應用，而不限制在一個小范圍內，就事論事式的解題。

例3：若x＞0，求x+ 的最小值。

利用平均值定理（若干個非負數的平均值不小于它們的幾何平均值），將“和”的形式不等量地化為“積”的形式，將變量不放大為常量，并驗證等號成立的條件是否合題意，可解得：當x=2時，有最小值4。

用同樣的解題思路和方法，只要稍作處理，就可解下列各題:

求x + 的最小值；

若x＜0，求x+ 的最大值；

若x＞0，證明x+ ≥3。

例4：3個房間，現有4人投宿，有多少種安排方法？

分析：顯然是一個可重復問題，用乘法原理解。由于關鍵是4人投宿，所以分為四步。第一步，第一個人投宿，3種安排。第二步，第二個人投宿，3種安排。第三步，第三個人投宿，3種安排。第四步，第四個人投宿，3種安排。

所以共有N=3×3×3×3=3 =81種安排方法。

類似題目：

3個郵筒，現要投4封信，有多少種不同的投法？

4個郵筒（空盒），現要投3封信（個球），有多少種不同的投法？

從山頂到山腳有3條不同的路，現有5位游客登山，每人可任意登山，則共有多少種不同方式登山？

三、提倡多思及變式應用等

對于某些較簡單的題目，教師應引導學生進一步思考，提倡一式多問、變式應用等。對于較復雜的題目，教師可引導學生細化問題，分層考慮，各個擊破。

例5：m為何值時，復數（m +3m+2）+（m -m-2）i是：

（1）實數；（2）虛數；（3）純虛數？

對于職高學生來講，這樣的題并不容易，教師在講（1）時可說明，是實數就不能有虛數單位，因此i的系數為零，即虛部m -m-2=0；在講（2）時可說明，是虛數就要有虛數單位，因此i的系數不為零，即虛部m -m-2≠0，恰好和為實數的條件相反；在講（3）時可說明是純虛數首先得是虛數，因此（2）要滿足，“純”是實部為零，m -m-2≠0與m +3m+2=0聯立成組求解。

講完這道題后，教師還可進一步提問：（4）為零；（5）對應點在第一象限？

例6：求證：sin(α+β)sin(α-β)=sin α-sin β。

在證明時學生都能想到左邊展開成

許多學生到此做不下去了，還是引導學生兩邊靠，cos β、cos α右邊沒有，要轉化。怎樣轉化？根據特點，只有用同角平方關系了。

變式練習：已知：cos(α+β)cos(α-β)= ，求cos α-sin β。

例7：已知三個平面兩兩垂直且交于一點O，空間一點P到三個平面的距離分別為3，4，5，求PO距離。

對于這個問題，學生們首先想到畫圖，三個垂直的平面總也畫不好，因此我提議學生們想想墻角落（三面垂直交于一點）。有學生用手一比畫，想到不就是“已知長方體三條棱長，求長方體的對角線嗎”？PO= =5 。看來，三面垂直還得多看墻角落。

四、提倡對比和歸納

有些學生對概念一知半解，容易產生混淆與錯覺。有比較才有鑒別，通過對比可以掌握各自的特點和本質，從而幫助學生深刻理解數學概念。

例8：例舉下列幾個典型例子進行鑒別：

自然數與正整數，正數和非負數

空集?覬和集合{0}，子集與真子集

銳角和第一象限的角

直線的傾斜角，復數的幅角與幅角主值

充分條件與必要條件等

兩條直線：（1）相交，（2）平行，（3）異面，能確定一個平面嗎？

在學完一個知識點時，有必要回顧并系統地總結一下學過的概念方法等。比如學完直線一節，要對幾種直線方程進行總結；學完二次曲線，要對它們的定義、性質作比較，并歸結出它們內部的聯系和統一性。

職高教材雖然沒有數學歸納法，但也體現了聯想歸納的思想，比如推導等比、等差數列的通項公式。職高的教學更應注重數形結合思想，比如學習函數單調性，也許畫一個圖比進行證明更易判斷。職高數學更注重實際應用，比如學習正、余弦定理，不能只是要求學生記住它們解三角形的適用范圍，而是要用到零件加工切割等生產活動中去。其實教授職高數學，培養職高學生數學思維品質并不是一件容易的事，它要求教師的教學語言既要直白簡練，又要有藝術性和啟發性，教學內容既要細致周密，又要高度提煉，每一堂課都要精心設置，選擇最優的教學方法，于無形中傳授各種數學思想方法。只要我們努力，那么職高學生就能迸發出思維的火花，結出累累的碩果，將來在社會生產建設中發揮更大的作用。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”