關(guān)于柯西中值定理的幾種證明方法

摘 要：微分中值定理是微分學(xué)中重要的基本定理，它可應(yīng)用于求極限、證明不等式與等式、證明單調(diào)性等很多數(shù)學(xué)問題的討論。為加深對柯西中值定理的理解，以便更好地應(yīng)用，本文介紹了柯西中值定理的幾種新的有代表性的證明方法。

關(guān)鍵詞： 柯西中值定理;輔助函數(shù);證明

一、 引言

微分中值定理是微分學(xué)中的重要定理，其應(yīng)用廣泛，涉及到的應(yīng)用有研究函數(shù)或?qū)?shù)所對應(yīng)的方程的根的個數(shù)及根的范圍；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，或者是根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)的性質(zhì)；再有證明一些不等式及求極限等。

為解決上述問題，對微分中值定理的深入理解是很必要的。現(xiàn)介紹柯西中值定理的幾種新的證明方法，以使其更好地被認知和應(yīng)用。

柯西中值定理的敘述如下：

若f(x)與g(x) 在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)可導(dǎo)，且x(a，b)，g'(x)≠0則在(a，b)內(nèi)至少存在一點使

=

二、 柯西中值定理的證明

柯西中值定理證明方法的探討與研究歷來是一個引人注目的問題。一般常見的證明方法是構(gòu)造輔助函數(shù)再根據(jù)羅爾定理加以證明。下面將給出關(guān)于這一定理的幾種新的證明方法。

1. 利用復(fù)合函數(shù)證明柯西中值定理

在柯西中值定理中， 考慮將g(x)看成自變量t，x看成自變量t的函數(shù)，則將f(x)看成中間變量為x，自變量t的復(fù)合函數(shù)。

從而由題設(shè)，任意的x(a，b)，g'(x)存在且g'(x)≠0。由達布定理知，g'(x)在(a，b)內(nèi)保號，令t=g(x)，則t是[a，b]上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)。 于是，存在單調(diào)且連續(xù)的反函數(shù)x=g-1(t)，t[g(a)，g(b)]。

由f(x)在[a，b]上連續(xù)知，在[g(a)，g(b)]上存在連續(xù)的復(fù)合函數(shù)y=f[g-1(t)]=h(t)。根據(jù)參數(shù)方程求導(dǎo)公式有

==，x(a，b)，

故在x(a，b)即t[g(a)，g(b)]內(nèi)存在。從而y=h(t)在[g(a)，g(b)]上滿足拉格朗日中值定理條件，故至少存在一點使

t=g()(g(a)，g(b))使

==，

得 ＝，（a，b）。

2. 利用同增量性證明柯西中值定理

引理1在同一閉區(qū)間上連續(xù)且在其內(nèi)部可導(dǎo)的兩個函數(shù)， 若在這一區(qū)間上有相同的增量， 則在這區(qū)間內(nèi)至少存在一點， 使這兩個函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)值相等。

證明：由題設(shè)f(x)，g(x) 在[a，b]上連續(xù)， 在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)， 且f(a)-f(b)=g(a)-g(b)。

則f(x)-g(x)也在[a，b]上連續(xù)， 在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)-f(b)=g(a)-g(b)，

即 f(a)-g(a)=f(b)-g(b)。

故 f(x)-g(x)滿足羅爾定理條件。則在(a，b)內(nèi)至少存在一點，使f'()-g'()=0。即f(x)與f(x)在點的導(dǎo)數(shù)值相等。

下面證明柯西中值定理：

由題設(shè)f(x)、g(x)在[a，b]上連續(xù)， 在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)。且在g'(x)在（a，b）內(nèi)每一點均不為0 ， 則[f(b)-f(a)]g(x)與[g(b)-g(a)]f(x)在[a，b]上連續(xù)， 在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且具有相同的增量f(b)-f(a)=g(b)-g(a)。

由命題知， 在（a，b）內(nèi)至少存在一點， 使[f(b)-f(a)]g'()=[g(b)-g(a)]f'()。

由拉格朗日中值定理知，

g(b)-g(a)＝g'()(b-a)，（a，b） ，而g'()≠0，b-a≠0， 故g(b)-g(a)≠0。

從而＝，（a，b）。

3. 利用閉區(qū)間套定理證明柯西中值定理

引理2設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上有定義，且在x0（a，b）處可導(dǎo)，又{[n，n]}為一閉區(qū)間套，且n=n=x0，則

f'(x)=

引理 3 設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，則存在[a1，b1][a，b]，且b1-a1=(b-a)，使得 =。

現(xiàn)在把引理3推廣為：

引理 4設(shè)f(x)，g(x) 在[a，b]上連續(xù)，且g(x)是單射，則存在[a1，b1][a，b]，且b1-a1=(b-a)，

使得=

下面證明柯西中值定理

首先證明，當(dāng)，[a，b]，且≠時，有g(shù)()≠g()。

若g()=g()，由引理 3 ，存在[1，1][，]，且1-1=（-），使==0，從而g（1）=g（1）。在[1，1]上再次應(yīng)用引理3 ，存在[2，2][1，1]，且2-2=1-1，使==0，

從而g（2）=g（2）。反復(fù)利用引理3 有，最終可得一個閉區(qū)間套{[n，n]}，滿足(n-n)=0，且g(n)=g(n)，由閉區(qū)間套定理，存在[，][a，b]，使n=n=

根據(jù)引理2 得：

g'()==0，

這與條件g'(x)≠0（x(a，b))相矛盾，再根據(jù)引理4有，存在[1，1][a，b]，

且b1-a1=(b-a)，

使 = 。

反復(fù)利用引理4，類似與前面的證明，可得閉區(qū)間套{[n，n]}，滿足(n-n)=0，且=。

由閉區(qū)間套定理存在c[a，b]，使n=n=c，再由引理2 有：

===

4. 用行列式法證明柯西中值定理

構(gòu)造輔助函數(shù)

G(x)=f(a) g(b) 1f(b) g(b) 1f(x) g(x)1，

則

（1）因為f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)且

G(x)=g(a)1g(b)1f(x)-f(a)1f(b)1g(x)+f(a)g(a)f(b)g(b)

=[g(a)-g(b)]f(x)-[f(a)-f(b)]g(x)+[f(a)f(b)-f(b)g(a)]， 故G(x)在[a，b]上是連續(xù)的。

(2)因為f'(x)，g'(x)在(a，b)內(nèi)存在，且

G'(x)=[g(a)-g(b)]f'(x)-[f(a)-f(b)]g'(x)，

從而G'(x)在(a，b)內(nèi)也存在，即G(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)

(3)由于G(a)=f(a) g(a) 1f(b) g(b) 1f(a) g(b) 1=0 ，G(b)f(a) g(a) 1f(b) g(b) 1f(b) g(b) 1=0。

即：G（a)=G(b)。

綜上所述，G(x)滿足羅爾中值定理的全部條件，故由羅爾中值定理得，至少存在(a，b)，使得G'()=0，即

[g(a)-g(b)]f'()-[f(a)-f(b)]g'()=0， 又由條件（2），(a，b)，g'()≠0，故也可以寫為＝，這正是柯西中值定理。柯西中值定理是微分學(xué)中最主要定理之一，并有極為廣泛的應(yīng)用。關(guān)于它的證明一般采用輔助函數(shù)的方法，利用羅爾定理來證明，而證明中的難點在于構(gòu)造輔助函數(shù)。本文所給出的幾種證明方法有助于師生更加深入地了解柯西中值定理，進而使其被更好地認知和應(yīng)用，同時又在教學(xué)中具有借鑒作用。

參考文獻：

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[3]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法 [M].北京：高等教育出版社，1988.

（江蘇淮陰師范學(xué)院）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。