高中物理極值問題求解的一般規律

[摘要]極值問題，就是求某物理量在某過程中的極大值或極小值。極值問題在高中物理的力學、熱學、電學等部分均有出現，且解題方法變化多樣，是考查學生能力的重要題型之一，也是學生普遍感到困難的題型之一。

[關鍵詞]高中物理教學 極值問題 物理規律

中學物理習題中，遇求極值的問題很多，且多為思維難度大的習題，由于數學知識的制約，無法用高等數學求極值的方法求極值，只能用初等數學的方法求極值，根據不同問題，通常涉及到的數學知識有：點到直線的距離最短，兩數的幾何平均值小于或等于它們的算術平均值，二次函數求極值的方法，因式分解，三角函數，幾何作圖法，有關圓的知識，等等。

下面就物理極值問題，以問題為例，粗談求解的一般規律。

一、利用二次函數規律求物理極值的問題

函數y=ax2+bx+c(c≠0)存在有極值。若列出的物理方程滿足二次函形式，則可由求二次函數極值的方法求解物理極值。

追趕A，求B追到A之前，它們之間的最大距離為多少？

解：分析如圖1所示，設B出發t秒時，A、B物體間的距離為S，據題意可列物理方程為：

二、利用三角函數規律求物理極值的問題

在物理極值問題中，有許多題目里的物理量變化關系與角度變化有關，于是對這一類問題，我們只要著眼于列出被求物理量與角度的物理方程，再利用三角函數的有關規律即可求解物理極值。

例2.如圖2所示，物體放置在水平地面上，它們之間的動摩擦因數為μ，物體重為G，欲使物體沿水平地面做勻速直線運動，所用的最小拉力為多大？

該題的已知量只有μ和G，說明最小拉力的表達式中最多只含有μ和G，但是，物體沿水平地面做勻速直線運動時，拉力F可由夾角的不同值而有不同的取值。因此，可根據題意先找到F與夾角有關的關系式再作分析。

解：設拉力F與水平方向的夾角為θ，根據題意可列平衡方程式，受力分析如圖3所示，ΣFX=0，ΣFy=0

三、利用不等式性質求物理極值的問題

（如a+b≥2ab，當a=b時，a+b有最小值，ab有最大值）

例3.如圖4所示中，已知定值電阻R1，電源內阻r，滑動變阻器的最大阻值為R，當滑動變阻器連入電路的電阻RX多大時，在變阻器上消耗的功率最大？

解：設變阻器連入電路的為RX（0

欲使PRX有最大值，只有要有最小值，當時，即Rx=r+R1時，為最小，故

四、利用物理規律求極值的問題

在物理極值中，還有不少可以直接利用物理有關規律性質和條件便能很快地求極值解。

例4.在例1中，由于B物體是從靜止開始做勻加速直線運動追趕A，而A是做勻速運動，因此，只要B的速度等于A的速度時，它們之間才有最大距離，于是，由VB=at得t=VBa=Va代入S=V（T+t）-12at2便求得最大距離Smax=V22a+VT

圖5

例5.如圖5所示，均勻導線制成金屬圓環，垂直磁場方向放在磁感應強度為B的勻強磁場中，圓環總電阻為R，另有一直導線OP長為L，其電阻為ROP，一端處于圓環圓心，一端與圓環相連接，金屬轉柄OQ的電阻為ROQ，它以n的轉速沿圓環勻角速轉動。（題中各量的單位均為國際單位），問OP中電流強度的最小值是多少？

分析：OQ由于在轉動過程產生感應電動勢，整個裝置相當于一個閉合電路，其等效電路圖如圖6所示。

圖6

解：感應電動勢：

ROQ相當于電動勢的內阻，由串、并聯電路的性質可知，只有當Q轉至環的中點，即Q點與P點關于O的對稱點時，（則Q點平分R，ROA=RO=B=12R），電路的總電阻最大，此時OP中電流強度最小。根據閉合電路歐姆定律，OP中電流強度最小值為：

五、利用物理圖象求解極值

物理問題用圖象來描繪，利用圖象的直觀性，既明了又簡捷，往往對問題的解決起到事半功倍的效果。

例6.某物體從靜止開始沿直線運動，當停止運動時，位移為L，若運動中加速度大小只能是a或是零。那么此過程的最大速度是多大？最短時間為多少？

此問題采用V-t圖象分析較為簡單。

解：根據題意，只有滿足如圖5所示的V-t圖象OAT2所圍的面積，才有最大速度和最短時間。由于位移L就等于速度圖線與t軸所圍成的面積。從圖象可知，在L一定時，（既

綜上所述，無論采用何種方法解物理極值問題，首先都必須根據題意，找出符合物理規律的物理方程或物理圖象，這也是解決物理問題的核心，決不能盲目地將物理問題純數學化。

（作者單位：江蘇靖江市斜橋中學）