數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注猜想能力的培養(yǎng)

[摘要]本文依據(jù)新課標(biāo)對(duì)學(xué)生的要求，針對(duì)當(dāng)前學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中出現(xiàn)思維的局限性，提出教猜想、學(xué)猜想。并著重討論學(xué)生“猜想”能力的培養(yǎng)，其中包括構(gòu)建學(xué)生“猜想”能力的教學(xué)模式。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)猜想 數(shù)學(xué)實(shí)踐

牛頓說(shuō)：沒(méi)有大膽的猜想，就沒(méi)有偉大的發(fā)現(xiàn)。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)首先是被猜想，然后是被證實(shí)，它既是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的先導(dǎo)，也是實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題的一種重要手段，正因?yàn)闅v史上有諸如哥德巴赫猜想、費(fèi)爾馬猜想、歐拉猜想、四色猜想的提出，數(shù)學(xué)科學(xué)才發(fā)展為今天壯觀的現(xiàn)代數(shù)學(xué)。由此可見(jiàn)，猜想發(fā)展了數(shù)學(xué)。

人們認(rèn)識(shí)事物是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，往往需要經(jīng)歷若干階段才逐漸從現(xiàn)象認(rèn)識(shí)到事物的本質(zhì)。開(kāi)始只能根據(jù)已有的部分事實(shí)及結(jié)果，運(yùn)用某種判斷推理的思維方法，對(duì)某類(lèi)事實(shí)和規(guī)律提出一種推測(cè)性的方法。這種推測(cè)性的看法就是猜想。猜想是對(duì)研究的對(duì)象或問(wèn)題進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、聯(lián)想、類(lèi)比、歸納等，依據(jù)已有的材料知識(shí)作出符合一定的傳說(shuō)與事實(shí)的推測(cè)性想象的思維方法。由此可見(jiàn)，猜想是集多種思維方法和科學(xué)性、猜想性、創(chuàng)造性于一體的特殊思維形式。

數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程是與其他知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程一樣的。在證明一個(gè)定理之前，先得猜想這個(gè)定理；在作出詳細(xì)證明之前，先要有推測(cè)的思路。這些論證推理都是通過(guò)猜想而發(fā)現(xiàn)的，其思維模式如圖1。因此，數(shù)學(xué)猜想就是指依據(jù)某些已知事實(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)未知量及其關(guān)系所作出的一種似真推斷。

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：教師應(yīng)幫助學(xué)生在自主探索，合作交流中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。為此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)關(guān)注猜想的學(xué)與教，通過(guò)猜想意識(shí)、猜想習(xí)慣和猜想能力的培養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，把數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)落到實(shí)處。然而，猜想能力的培養(yǎng)又是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，因此必須全盤(pán)考慮，貫穿始終，周密安排，循序漸進(jìn)。

一、扎實(shí)的“雙基”是猜想的基礎(chǔ)

學(xué)習(xí)過(guò)程本身就是一個(gè)認(rèn)識(shí)過(guò)程，個(gè)體的學(xué)習(xí)總是要通過(guò)內(nèi)部已知的認(rèn)知對(duì)“從外到內(nèi)”的輸入信息進(jìn)行整理加工，并以一種自身易于掌握的形式加以?xún)?chǔ)存。也就是說(shuō)，學(xué)生能從原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中提取最有效的舊知識(shí)來(lái)吸納新知識(shí)，即找到新舊知識(shí)的“媒介點(diǎn)”，這樣，新舊知識(shí)在學(xué)生的頭腦中發(fā)生積極的相互作用和聯(lián)系，導(dǎo)致原有知識(shí)結(jié)構(gòu)的不斷分化和重新組合，使學(xué)生獲得新知識(shí)。

猜想不是無(wú)根之木，無(wú)源之水，它是立足于學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思考下的合理推測(cè)。在學(xué)生還沒(méi)有獲得必要的基礎(chǔ)知識(shí)之前，就去猜想，則會(huì)進(jìn)入不著邊際的亂猜亂想，會(huì)陷入盲目的“嘗試錯(cuò)誤”之中。因此，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的教學(xué)是猜想能力培養(yǎng)的前提與基礎(chǔ)。學(xué)生只有在牢固地掌握“雙基”之后，才能更好地進(jìn)行有依據(jù)的猜想，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維品質(zhì)。

數(shù)學(xué)教學(xué)中的猜想，往往是在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，學(xué)生利用已有的知識(shí)提出各種大膽猜想，再通過(guò)觀察和實(shí)驗(yàn)等途徑進(jìn)行檢驗(yàn)，形成科學(xué)的結(jié)論，這同樣是一個(gè)認(rèn)識(shí)知識(shí)的過(guò)程。在“一次函數(shù)的圖象”的教學(xué)中，可以下列問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的猜想：（1）正比例函數(shù)的圖象是什么？（2）一次函數(shù)與相應(yīng)的正比例函數(shù)有什么聯(lián)系和互別？正是由于學(xué)生有了“正比例函數(shù)圖像”這一基礎(chǔ)，才有大膽猜想的可能，才有得出科學(xué)結(jié)論的可能。

二、先進(jìn)的理念是猜想的關(guān)鍵

有這樣一個(gè)杜撰的小故事：一位小朋友畫(huà)了一幅“方”蘋(píng)果的家庭作業(yè)，媽媽看到了“怎么回事！蘋(píng)果怎么會(huì)是方的呢？”“嗯，嗚……”。第二天，老師看了作業(yè)“好特別的蘋(píng)果?。槭裁窗烟O(píng)果畫(huà)成‘方’的呢？”“因?yàn)閳A蘋(píng)果總是從桌子上掉下來(lái)！”“我相信你以后一定能培養(yǎng)出‘方’蘋(píng)果！”“方”蘋(píng)果在媽媽眼里和老師眼里有如此之大的差異，源于媽媽和老師不同的理念。寬松的氣氛，正確的引導(dǎo)是學(xué)生猜想的必要條件。教學(xué)中，教師扮演的角色是示范者、啟發(fā)者、鼓勵(lì)者和指導(dǎo)者，應(yīng)留給學(xué)生更多的時(shí)間和空間去猜想。教師不再是講授解答的權(quán)威，避免教學(xué)的注入式。

如在學(xué)習(xí)“韋達(dá)定理”時(shí)，先讓每一位學(xué)生寫(xiě)出一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，并求出方程的兩個(gè)根。然后進(jìn)行猜謎游戲：學(xué)生說(shuō)出一個(gè)方程的兩個(gè)根，教師“猜出”這個(gè)方程。學(xué)生個(gè)個(gè)稱(chēng)奇，迫不及待地問(wèn)老師有什么“訣竅”，這時(shí)教師就可以作必要的講解：因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)為1，所以只要猜出一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，就可以得出方程，而這兩個(gè)數(shù)的得出依靠的是你們提供的兩個(gè)根，這說(shuō)明一元二次方程根與系數(shù)之間存在關(guān)系。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜測(cè)根與系數(shù)的關(guān)系，并舉例進(jìn)行驗(yàn)證，學(xué)生很快就能得出規(guī)律。接著再引導(dǎo)學(xué)生猜想二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)的根與系數(shù)的關(guān)系，從而順理成章地得出韋達(dá)定理。這樣的教學(xué)既克服了把知識(shí)枯燥地介紹給學(xué)生，而且也讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一件有趣的事，學(xué)生就在無(wú)意中喜歡數(shù)學(xué)。

三、誘導(dǎo)和啟發(fā)是猜想的催化劑

中學(xué)生正處于體力、腦力迅速發(fā)展時(shí)期，他們愛(ài)思考，好爭(zhēng)論，敢探索。因此，教學(xué)中要結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)和習(xí)題充分挖掘教材中的猜想素材，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)猜想的情境，并抓住有利時(shí)機(jī)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行積極的誘導(dǎo)和啟發(fā)，從而激起思維，促進(jìn)他們?cè)谏顚?shí)踐中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，進(jìn)而去觀察、分析、猜想和探索，從而養(yǎng)成善于猜想、勇于探索的良好習(xí)慣。即便是習(xí)題教學(xué)中，誘導(dǎo)和啟發(fā)同樣能促進(jìn)學(xué)生的大膽猜想。

例1.已知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，且拋物線在X軸上截得的線段長(zhǎng)為4，求拋物線的解析式。

啟發(fā)：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸已知，且在x軸上截得的線段長(zhǎng)已知，能否求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)？

猜想：學(xué)生進(jìn)行分析得出與常規(guī)求法不同的方法。

結(jié)論：若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)（x1，0），（x2，0），則圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線的x=(x1+x2)/2的結(jié)論。

發(fā)現(xiàn)：解決問(wèn)題有不同的途徑，也存在相對(duì)最好的途徑。

體會(huì)：科學(xué)的每一次發(fā)現(xiàn)，艱難與樂(lè)趣并存。

四、科學(xué)建模是猜想的可靠途徑

猜想并不是胡亂的想象，是有一定的規(guī)律可循的。如前所述，猜想是集多種思維方法和科學(xué)性、猜想性、創(chuàng)造性于一體的特殊思維形式。只要在教學(xué)中聯(lián)系科學(xué)思維方法，挖掘和培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力，就會(huì)找到可靠的途徑。

1.觀察歸納引發(fā)猜想

數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)方法，不是由純邏輯的演繹推理得的，絕大多數(shù)是通過(guò)為數(shù)不多的特例觀察，進(jìn)行歸納猜想，最后通過(guò)證明提出的。在學(xué)習(xí)這些結(jié)論時(shí)，可與學(xué)生一道觀察、歸納、猜想。

如學(xué)習(xí)“凸多面的歐拉定理”時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三棱錐、四棱錐、正方體及棱臺(tái)等常見(jiàn)幾何體進(jìn)行觀察，并歸納棱數(shù)、面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，由學(xué)生得出結(jié)論：頂點(diǎn)數(shù)(V)+面數(shù)(F)—棱數(shù)(E)=2。

在“單項(xiàng)式乘法則”、“一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系”等的教學(xué)中都可以采用此法，通過(guò)這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生得出的結(jié)論最自然，并且最容易被學(xué)生的原有認(rèn)知所容納，同時(shí)還會(huì)享受到探索知識(shí)和方法的樂(lè)趣，有些學(xué)生大有發(fā)現(xiàn)恨晚之意，這又極大地激起了學(xué)生的求知欲。

2.直覺(jué)思維引發(fā)猜想

萊布尼茨說(shuō)：人們依靠直覺(jué)洞察力往往一眼看出我們靠著理論力量在花了許多精力以后才能找出的東西。因此，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)時(shí)時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生憑自己的直覺(jué)去猜想，培養(yǎng)學(xué)生敢于猜想的膽量。

例2. 如圖2，已知在等邊△ABC中，AD，BE相交于O點(diǎn)，且BD=CE，求∠AOE的度數(shù)。

分析：除了等邊三角形的內(nèi)角為60°外，其他角的度數(shù)都是未知的，要求出∠AOE的度數(shù)，顯然會(huì)直接猜想到∠AOE=60°，從而把∠AOE與△ABC中其中一個(gè)角聯(lián)系起來(lái)。結(jié)合圖形可知：∠AOE=∠ABO+∠BAO，∠ABC =∠ABO+∠CBO，故只要證明∠BAO=∠CBO就行了，進(jìn)一步通過(guò)△ABD≌△BCE就可得證。

數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上不乏這樣的事例，1852年費(fèi)蘭西斯?葛斯里在對(duì)地圖著色時(shí)，由于直覺(jué)發(fā)現(xiàn)只要四種顏色就行了，經(jīng)過(guò)100多年后，利用計(jì)算機(jī)終于證明了“四色猜想”。因此，教學(xué)中決不能輕易放過(guò)思維中的一點(diǎn)點(diǎn)的直覺(jué)、靈感或閃光點(diǎn)，這其中也許會(huì)蘊(yùn)藏著一次重大的革命。

3.類(lèi)比聯(lián)想引發(fā)猜想

類(lèi)比是偉大的引路人，對(duì)某些探索性問(wèn)題通過(guò)觀察分析和類(lèi)比，可以構(gòu)造出符合條件的實(shí)例，通過(guò)對(duì)具體的實(shí)例的剖析，則使較隱蔽的問(wèn)題“水落石出”。

例3. 已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c且∠B=∠C。求證b2=c(a+c)。（表1）

4.分析綜合引發(fā)猜想

分析和綜合是常用的科學(xué)方法。分析是從整體到局部的邏輯思維方法，而綜合是從局部到整體的邏輯思維方法。在教學(xué)中，當(dāng)遇到一個(gè)比較復(fù)雜的現(xiàn)象或較難的問(wèn)題時(shí)，就應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從相關(guān)的簡(jiǎn)單現(xiàn)象或問(wèn)題進(jìn)行分析，并從中綜合猜想，發(fā)現(xiàn)復(fù)雜現(xiàn)象的本質(zhì)或解決問(wèn)題的方法。

例4.相距100米的甲、乙兩人均以1米/秒的速度沿直線相向而行，一只小狗以2米/秒的速度從甲的身邊跑向乙，遇到乙后立即又轉(zhuǎn)向甲，如此往復(fù)。問(wèn)：這只狗一共跑了多少米？

分析：若把注意力集中在“小狗跑了多少米”，則會(huì)借助圖示法，狗的路程總是分段考慮的，即“先求出第一次遇到乙時(shí)走了多少路程，再求出狗的第二次遇到甲時(shí)走了多少路程，如此往復(fù)，最后將所得路程相加，便得狗走過(guò)的總路程，這就不勝其“繁”，且搞不清有多少段，求路程的總和就難以實(shí)現(xiàn)了。若將原問(wèn)題仔細(xì)分析，不妨大膽設(shè)想，人在走，小狗在跑，人和小狗從內(nèi)在上有何聯(lián)系？這是行程問(wèn)題，顯然從路程、速度、時(shí)間三個(gè)方面上找關(guān)系？這樣，就很容易發(fā)現(xiàn)小狗和人在時(shí)間上是一樣的，從而會(huì)很容易將這個(gè)問(wèn)題解決。

5.實(shí)踐探究引發(fā)猜想

探究學(xué)習(xí)是相對(duì)于接受學(xué)習(xí)而言的，它和接受學(xué)習(xí)相比，具有更強(qiáng)的實(shí)踐性、參與性和開(kāi)放性。實(shí)踐和探究可以給學(xué)生更多的思考空間和實(shí)踐體驗(yàn)。在“三角形的中位線”的教學(xué)中，可設(shè)計(jì)如下過(guò)程：（1）任意畫(huà)一個(gè)非等邊三角形；（2）用刻度尺找出其中兩邊的中點(diǎn)并連接；（3）猜想連接兩邊中點(diǎn)的線段在數(shù)量上和位置上與誰(shuí)相關(guān)？有何關(guān)系？通過(guò)這樣的實(shí)踐活動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并解決問(wèn)題，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的樂(lè)趣和成功的體驗(yàn)。

激發(fā)學(xué)生大膽猜想，除了要營(yíng)造寬松的猜想氛圍外，還要不限制思維的疆域，不迷信己有的結(jié)論，不滿足現(xiàn)成的解答。鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，可以猜想解題的方向，猜想問(wèn)題的結(jié)論，猜想由特殊到一般的可能，猜想知識(shí)間的有機(jī)聯(lián)系。

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（作者單位：浙江溫嶺市第四中學(xué)）