對一道課本習(xí)題的多角度探求

全日制普通高級中學(xué)教科書（實驗修訂本#8226;必修）數(shù)學(xué)第二冊（上）第31頁B組題的第6題：設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，求證：a +b +c ＜2（ab+bc+ca）。這道題的證法緊緊圍繞三角形中的邊的特征，依據(jù)不同的思維，不同的入口結(jié)合不等式證明的不同方法，可以得到不同的證法。并且依據(jù)已經(jīng)證明的結(jié)論，還可以進(jìn)行引申推廣。

1.常規(guī)思維法，不等式的證明最基本的方法就是求差比較法，基于此，有如下的解法：

證法一：∵a +b +c -2（ab+bc+ca）

=a -2ab+b +c -2ac+a +c -2bc+b -a -b -c

=（a-b） +（c-a） +（c-b） -a -b -c

=（a-b） -c +（c-a） -b +（c-b） -a

=（a-b+c）（a-b-c）+（c-a+b）（c-a-b）+（c-b+a）（c-b-a）

又∵a，b，c為△ABC的三邊

∴a-b+c＞0a-b-c＜0c-a+b＞0

c-a-b＜0c-b+a＞0c-b-a＜0

∴（a-b+c）（a-b-c）+（c-a+b）（c-a-b）+（c-b+a）（c-b-a）＜0

∴a +b +c ＜2（ab+bc+ca）

利用不同的組合，然后利用求差比較法可以得到：

證法二：∵a +b +c -2（ab+bc+ca）

=（a -ab-ca）+（b -ab-bc）+（c -bc-ac）

=a（a-b-c）+b（b-a-c）+c（c-b-a）

=-〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕

又∵a，b，c為△ABC的三邊

∴a＞0，b＞0，c＞0且a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a

利用同向正則不等式可以相乘，得到

a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）＞0

∴-〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕＜0

∴a +b +c ＜2（ab+bc+ca）

2.利用分析法，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系和同向正則不等式相乘的性質(zhì)可以得到：

證法三：∵a，b，c為△ABC的三邊

∴a＞0，b＞0，c＞0且a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a

利用同向正則不等式可以相乘，得到：

a（b+c）＞a ，b（a+c）＞b ，c（a+b）＞c

又∵2（ab+bc+ca）

=ab+ac+bc+ba+bc+ac

=a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）＞a +b +c

∴a +b +c ＜2（ab+bc+ca）

在討論題目的證明過程中，有的同學(xué)想到了這樣的證明方法：

證法四：∵a，b，c為△ABC的三邊

∴a-b＜c，b-c＜a，a-c＜b

∴（a-b） ＜c ，（b-c） ＜a ，（a-c） ＜b

上述三個不等式相加得：

（a-b）+（b-c） +（a-c） ＜a +b +c

即a +b +c ＜2（ab+bc+ca）

這種證明簡明扼要，非常優(yōu)秀，說明學(xué)生的思維是非常敏捷的。只是在三角形中由a-b＜c，b-c＜a，a-c＜b就一定推出（a-b） ＜c ，（b-c） ＜a ，（a-c） ＜b 的推理不嚴(yán)謹(jǐn)，師生共同改進(jìn)證明方法可以得到下列優(yōu)秀證法：

證明：∵a，b，c為△ABC的三邊

∴|a-b|＜c，|b-c|＜a，|a-c|＜b

∴（a-b） ＜c ，（b-c） ＜a ，（a-c） ＜b

上述三個同向不等式相加得：

（a-b）+（b-c） +（a-c） ＜a +b +c

即a +b +c ＜2（ab+bc+ca）

題目證明完成后，進(jìn)一步引申，可以得到下面的命題：

已知a，b，c為△ABC的三邊，求證關(guān)于x的不等式x +（a+b+c）x+ab+ac+bc＞0的解集為R。

證明：∵a，b，c為△ABC的三邊

∴x +（a+b+c）x+ab+ac+bc

=（x+ ） -( ) +ab+ac+bc

=（x+ ） + [4(ab+bc+ac)-(a+b+c)2]

由前面的命題可知：

（a+b+c） -4（ab+ac+bc）

=a +b +c -2（ab+bc+ca）

=（a -ab-ca）+（b -ab-bc）+（c -bc-ac）

=a（a-b-c）+b（b-a-c）+c（c-b-a）

=-a[（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）＜0

∴4（ab+bc+ac）-（a+b+c） ＞0

又∵（x+ ） ＞0

∴（x+ ） + [4(ab+bc+ac)-(a+b+c)2]＞0恒成立

∴關(guān)于x的不等式x +（a+b+c）x+ab+ac+bc＞0的解集為R。

由上面的證明可以看出，精心研究習(xí)題的解答，重視課本習(xí)題的輻射作用，無論對教師還是學(xué)生都是極其有利的。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”