不等式恒成立問題中參數范圍的求解

不等式恒成立問題中求參數范圍是高考和各類模擬題中的熱點，這類題涉及多個知識點，如函數的值域（最值）、常見函數的圖像與性質以及復合函數、抽象函數、導數、不等式的性質等。由于邏輯性、抽象性強，問題的制約條件復雜，變量的潛在約束比較隱晦，因而導致學生解題時抓不住關鍵，理不清思路，往往半途而廢。下面談談解決此類問題的常用辦法。

一、構造函數法：依據函數方程不等式思想，把不等式問題轉化為函數問題。一是直接構造函數：利用原式不變形處理或僅僅移項整理變形而得。二是間接構造函數：通過變形把參變量單獨分離后再構造，或者通過變更主元實施參變互換后構造新函數。通過構造函數進而利用函數的圖像和性質去分析、解決問題。具體操作如下：

（1）構造函數求值域（最值）：常用途徑是二次函數（判別式）；分離變量，即利用極端原理，轉化為f(x)＞a恒成立?圳a＜f(x) 或f(x)＜a恒成立?圳a＞f(x) 解決；變更主元。

例1：若不等式x +ax＋1≥0對于一切x∈（0， ］成立，求a的取值范圍。

解析：由題意令f(x)=x +ax＋1，求其在區間（0， ］上的最小值滿足非負即可。∵f(x)=x +ax＋1=(x+ ) +1- ，由于f(x)圖像開口朝上，對稱軸為x=- ，所以需滿足- ≤0f(0)≥0，或0＜- ＜ f(- )≥0，或- ≥ f( )≥0，綜上解得a≥- 。

本題中的定義域區間一定，但對稱軸變化，因而需分類討論對稱軸與區間的位置關系，借助二次函數的單調性處理。

另：因為x＞0，所以對原式變形整理分離參數a，得x+ ≥-a對于一切x∈（0， ］成立。令f(x)=x+ 求其在（0， ］的最小值≥-a恒成立。求導利用單調性得f(x) = ，∴ ≥-a即a≥- 。此法體現了分離參數間接構造函數求最值。

練習：若對于一切x∈R，不等式x +2(a-2)x+4＞0恒成立，求a的取值范圍。

例2：對任意的|m|≤2，不等式mx -2x+1-m＜0恒成立，求m的取值范圍。

本題如果構造以x為主元的一元二次函數來求解，則不僅繁瑣，而且還討論不出所以然。若反客為主，以m為主元就為問題的處理找到一個新的突破口，使問題迎刃而解。

解：對任意的|m|≤2，mx -2x+1-m＜0恒成立，等價于(x -1)m-2x+1＜0恒成立.∵mx -2x+1-m＜0∴(x -1)m-2x+1＜0，設g(m)=(x -1)m-2x+1，則g(m)是關于m的一次函數。依據其圖像與性質，∵-2≤m≤2，∴g(m)＜0恒成立等價于g(-2)＜0g(x)＜0，即2x +2x-3＞02x -2x-1＞0，解得 ＜x＜ 。

有些數學問題構思新穎，同時有其實際背景，若按固有的思維習慣，從表面形式上認定主元往往陷入困境。若打破思維定勢，突出處于相對次要地位的客元，往往能收到出人意料的效果。

（2）構造函數畫圖像：即數形結合法。通過轉化為熟悉函數或圓錐曲線的方程，利用圖像通過運動變化觀點來解決，往往會化抽象為具體、化復雜為簡單。

例3：若x∈（1，2）時不等式（x-1） ＜log x恒成立，求a的取值范圍。

解：設f(x)=(x-1) ，g(x)=log x，對一切x∈(1，2)，要使不等式恒成立，等價于函數g(x)的圖像總在函數f(x)的上方，當a∈(0，1)時易知不合題意。當時a∈(1，+∞）畫出兩者圖像，如圖。顯然需滿足f(2)≤g(2)，即(2-1) ≤log 2，解得a≤2，綜上所求范圍是1＜a≤2。

某些不等式恒成立問題可以通過構造兩個函數，借助于圖像來研究：在取同一自變量時上方圖像對應函數值大于下方圖像對應函數值。本題不等式兩邊的兩個代數式所確定的函數的圖像很容易畫出來，對照所畫出圖像可以直接判斷，得出結果。若不等式兩邊或整理后的式子對應的曲線或函數圖像較易做出，則利用直觀圖像，是個好辦法。

二、逐步消元法：當一個題目中有多個變量時，要敢于把其中的一個作為自變量，其余的作為參數來處理，逐步減少參數，使問題得以轉化解決。

例：函數f(x)是奇函數，且在［-1，1］上遞增，f（-1）=1。若f(x)≤t -2at+1，對所有的x∈［-1，1］，及a∈［-1，1］都成立，求t的取值范圍。

解：本題含有三個變量，抽象性強，感到無從入手。由題意依序減元化歸，逐步消元，可以達到目的。易知f(x) =1，∴f(x)≤t -2at+1對所有的x∈［-1，1］及a∈［-1，1］都成立，等價于1≤x -2at+1，即t -2at≥0對所有的a∈［-1，1］恒成立。令g(a)=t -2at=-2ta+t ，∴g(a)=t -2at=-2ta+t ≥0對所有的a∈［-1，1］恒成立。即g(-1)≥0g(1)≥0；解得t≥2，或t≤-2，或t=0。

近幾年高考題中出現了很多關于不等式恒成立問題的創新題型，表現在問法新穎，外在表現多樣。但萬變不離其宗，只要抓住本質，合理轉化便可突破解決。

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