高中生數學反思能力的培養

數學反思能力與數學其它能力是統一在數學思維活動中的一種相互促進、互為基礎的關系，數學反思能力的提高可促進數學其它能力的發展，提升學生數學素養，完善思維機制，令學生終生受益．但是對高中生而言，反思的意識仍然不強，反思技能不高，反思方法欠缺，他們的反思主要處于無意識的被動的反思階段，能進行主動自覺反思的甚少，因此，教師要重視培養學生反思意識，提高反思能力．

一、在概念教學中引導學生反思

概念是數學知識的基礎，是數學思想方法的載體，所以概念教學尤為重要．在教學過程中，學生因概念不清而導致錯誤的現象屢見不鮮．

例如：設函數f (x)=log2+

log2（x-1）＋log2（p-x），求f(x)的定義域.

解：由x+1>0，x-1>0及p-x>0，得x>1且x1時，定義域是1

剖析：教材中給出函數的定義是：“給出兩個非空數集A和B，如果按照某個對應關系f，對于A中任何一個數x，在集合B中都存在唯一確定的數f(x)與之對應，那么就把對應關系f叫做定義在A上的函數，x叫自變量，集合A叫作函數的定義域.”反思函數的概念，可知定義域是非空數集．該題中f(x)是函數，所以其定義域是1

可見，在進行概念教學時要引導學生多次反思，挖掘概念的本質，研究概念形成的條件和形成的過程，這樣才能使學生更深刻理解概念，更準確地掌握概念、應用概念，同時也培養了反思意識，提高了反思能力．

二、引導學生解題后反思

經常進行解題后反思不僅是提高數學思維能力的有效方法，也是養成反思習慣，提高反思能力的有效途徑．

1. 反思計算是否有失誤，解題策略是否可取

解題后起碼要引導學生作這樣的思考：（1）為何這樣解，這樣解正確嗎（2）解題的關鍵是什么？

例1求方程=3的解.

解：去分母得1+3-x=3（1+3）x，即3·3x-3-x+2=0，兩邊乘以3x，得關于3x的二次方程3·（3x）2+2·3x－1=0，分解因式得（3·3x-1）（3x+1）=0，因為3x+1≠0，所以3·3x-1=0，解得x=-1.

反思：（1）由指數函數的性質，可知解題策略是可行的，經檢驗，計算無誤.（2）解題的關鍵是兩邊同乘3x，將原方程化為關于3x的二次方程.

2. 反思解題過程，思考是否有更佳的解題方法

進一步引導學生反思，是否可換一個角度另辟佳徑？分析上面解題過程，可知最能產生實質性進展的是兩邊乘以3x處理負指數這一步，去分母和移項整理這兩步只起轉換作用，而且兩邊乘以3x對于是否去分母都是可以施行的，抓住這一實質，直接對原式處理負指數，可得如下較優解法．

另解1：兩邊乘以3x，有=3·3x，即1=3x＋１，解得x=-1.進一步分析另解1可看出，它實質上揭示了分子、分母有公因式可相約，所以想到變乘.以3x提取3－x，可得如下更優解法.

另解2：原方程變形為=3，所以3－x=3，解得x=-1.

3. 反思題目條件和結論，看命題是否可以推廣

如有可能，引導學生進行較高層次的思考，將題目的條件或結論進行變化，看命題是否可以推廣.

如將例1中的3換為2，得到方程=2，解得此方程的解仍是x=-1.教師問學生：2還可以換為什么數，使得方程的解仍為x=-1呢？學生經過思考回答：可換為任意正數.于是得到一個具有一般性的命題：方程=a(a>0)的解是x=-1.

4. 反思知識點，形成“知識鏈”

數學知識是解決數學問題的基礎，探尋知識點間的聯系是解題思維的重要出發點和解題思維活動過程的重要方面.反思解題所用的知識點，理清由知識點形成的“知識鏈”，能使學生加深對數學知識間的關系和聯系的理解．這些濃縮的“知識鏈”在解題時可釋放大量的能量，優化解題思維過程．

例2已知二次函數f（x）=ax２+bx+c的圖像與直線y=25有公共點，且不等式f （x）>0的解是－

解：因為f （x）>0的解是－

反思：本題中的知識點是一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函數等，它們緊密聯系，相互作用形成一個“知識鏈”.實質上，一元二次方程的解就是一元二次函數與x軸交點的橫坐標，一元二次不等式就是研究一元二次函數在定義域內的正負區間.

進一步反思，我們可以把方程、不等式等內容都統一到函數思想下進行研究. 解方程f（x）=0就是求函數f（x）的零點，解不等式f（x）>0， f（x）<0就是求函數f（x）的正負區間.

解題后的反思能使掌握知識的層次更具深度和廣度，優化數學思維能力，同時，長期引領學生進行題后反思，能使學生逐步形成反思習慣，提高反思意識和反思能力.

三、評講作業（或試卷）后引導學生進行反思

作業（或試卷）評講的結束，并非以題目評講的終結為標志，教師應利用學生的思維慣性，從以下兩方面引導學生進行反思總結.

1. 反思做錯的題目，找出錯因，并訂正

每個學生都要有錯誤訂正本，訂正錯題時不僅要寫出正確的解題過程，同時要反思錯因及解題中自己的感受和啟發，并注明.

2. 反思解答過程，總結解題規律，創新性地編擬新問題

（1）通過反思使學生體會分析處理某些問題普遍適用的方法，進一步認識解決此類問題的“通性通法”， 起到舉一反三，觸類旁通的作用，即提高解題能力，也培養了反思意識，提高了反思能力．

（2）反思問題與問題之間的本質聯系，創造性地編擬新的問題，讓學生在不斷的知識聯系和知識整合中，豐富認知結構中的內容，體驗“創造”帶來的樂趣，這對培養學生的創新思維非常有利．

例如在評講完作業：求函數f（x）=x3-3x+1在閉區間[-3，0]上的最大值、最小值后，可要求學生將此題和重要的數學思想、方法進行整合，編擬新問題．一部分學生將之和方程結合編擬出：求方程x3-3x+1=0，x∈[-3，0]解的個數. 還有一部分學生引進參數編擬出：就a的不同值，求方程x3-3x+a=0，x∈[-3，0]解的個數.

略解：構造函數y=x3-3x，x∈[-3，0]和y=a. 由y=x3-3x得y′=3x2-3，令y=0得x=1或x=-1. 如圖1，當x=-1時， f（x）最大值為2；當x =-3時，f（x）最小值為-18. 所以，當0≤a<2時，方程有兩解；當-18≤a<0或a=2時，方程有一解；當a>2或a<-18時，方程無解.

這樣，就將原題與“函數與方程”的思想、“數形結合”思想進行了有效的整合，反思加深了對問題的聯系和理解． 同時培養了反思意識，提高了反思能力．

責任編輯羅峰

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