從學(xué)生在高考中的失誤談起

對(duì)于成功和失敗的態(tài)度，有人說(shuō)：失敗是成功之母。對(duì)于年復(fù)一年的高考來(lái)說(shuō)，本人認(rèn)為前一年考生的“失敗”應(yīng)該成為后一年考生的“成功之母”，也就是說(shuō)要善于從每年的高考中吸取經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，以調(diào)整和警示新一輪的高考考生的學(xué)習(xí)。下面本文以2007年福建省高考數(shù)學(xué)試卷中的考生的失誤為例，談?wù)効忌嬖诘膯?wèn)題和對(duì)新一輪高考復(fù)習(xí)的啟示。

一、兩道題的典型錯(cuò)誤解答及分析

例1（2007福建高考文科第17題）在△ABC中，tanA= ，tanB= 。

(Ⅰ)求角C的大小；

（Ⅱ）若△ABC最大邊的邊長(zhǎng)為 ，求最小邊的邊長(zhǎng)。

這道題題干簡(jiǎn)單，出題意圖明確，綜合考查三角知識(shí)，屬于一道容易得分的簡(jiǎn)單題。但是這道題全省文科平均分只有5.14分，滿分?jǐn)?shù)與零分?jǐn)?shù)之比是1.8。

這道題本來(lái)合理合情的入手方法是由tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)，由兩角和正切公式求得，但是不少學(xué)生只顧著求出sinA，cosA，sinB，cosB。所以，一方面我們從錯(cuò)解中可以看到過(guò)度訓(xùn)練的影子；另一方面我們也從錯(cuò)解中看到學(xué)生三角部分的基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)，表現(xiàn)在：①學(xué)生三角公式記錯(cuò)，如出現(xiàn)tan(π-A-B)=tan(A+B)，sin A=1+tan A等；②學(xué)生特殊角三角函數(shù)值記錯(cuò)，如tan(A+B)=1?圯A+B= ；③概念邏輯錯(cuò)誤，如sinC= ?圯C= 。

例2（2007福建高考理科第20題）如圖，已知點(diǎn)F（1，0），直線l：x=-1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且 · = · 。

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)M，已知 =λ， =λ，求λ +λ 的值。

這道題綜合考查向量基本概念及其運(yùn)算性質(zhì)，以及簡(jiǎn)單的軌跡與方程的思想。這道題全省理科的平均分是5.16，而且滿分?jǐn)?shù)與零分?jǐn)?shù)之比是1∶2，也就是說(shuō)在眾多的理科考生中產(chǎn)生一個(gè)滿分的同時(shí)也產(chǎn)生了兩個(gè)零分。

錯(cuò)解1：(Ⅰ)由 · = ·

得 =- ?圯| |=| |?圯動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，

?圯動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，

其軌跡C的方程為：y =4x

從學(xué)生的錯(cuò)誤中可以看出學(xué)生對(duì)于平面向量部分知識(shí)的基礎(chǔ)欠扎實(shí)。從以上兩個(gè)錯(cuò)誤解法中看出：一方面學(xué)生對(duì)于兩個(gè)向量的數(shù)量積與兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘積概念混淆嚴(yán)重；另一方面學(xué)生對(duì)于向量中的運(yùn)算與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算性質(zhì)混淆嚴(yán)重。

從以上錯(cuò)解可以看出：學(xué)生將實(shí)數(shù)中的除法、通分等運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)用于向量中，可見(jiàn)學(xué)生對(duì)向量的運(yùn)算性質(zhì)不理解、亂應(yīng)用，同時(shí)也折射出了在教學(xué)中對(duì)有關(guān)概念的內(nèi)涵剖析得還不夠，學(xué)生對(duì)概念理解不透徹。

二、對(duì)新一輪高考復(fù)習(xí)的啟示

1.夯實(shí)基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的真正理解和適度訓(xùn)練。

數(shù)學(xué)是一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，它的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能常常是學(xué)習(xí)其它學(xué)科的基礎(chǔ)，所以高考一直非常強(qiáng)調(diào)考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的理解與掌握。然而，從今年我省考生的解答情況卻可以看到有的考生犯了脫離課本，一味地進(jìn)行形式化訓(xùn)練的結(jié)果。

文理科17題是考查學(xué)生對(duì)三角部分的基礎(chǔ)知識(shí)和基本公式的運(yùn)用的一道題，這道題本來(lái)入手容易、思路簡(jiǎn)單，但是這道題的平均得分并不理想，特別是文科生平均分只有5.24分。有的學(xué)生只顧著求sinA，sinB，sinC，走上繁瑣的解題道路；有的學(xué)生公式記憶混亂，三角公式似乎記憶在心，但卻不了解哪個(gè)公式對(duì)自己的解題有幫助；有的學(xué)生公式記錯(cuò)等。

理科第19題、文科第20題、理科22題都是考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的題目，但從學(xué)生的解答可以看出學(xué)生對(duì)導(dǎo)函數(shù)的意義不明確，不少學(xué)生在求出導(dǎo)函數(shù)值為零的點(diǎn)后，馬上得出該點(diǎn)為函數(shù)的極點(diǎn)的錯(cuò)誤結(jié)論。

文科第21題考查了學(xué)生對(duì)數(shù)列概念的理解，雖然這種類型的題目在復(fù)習(xí)訓(xùn)練題中多如牛毛，但是該題在全省的平均得分只有2.91分。不少學(xué)生在解答中只考慮到由a =s -s ?圯 =3，但卻沒(méi)有考慮項(xiàng)數(shù)n的條件，結(jié)果得出數(shù)列是等比數(shù)列的錯(cuò)誤結(jié)論。

理科第22題第1小題中有學(xué)生得出如(e )′=ex，e -e=e 等的錯(cuò)誤結(jié)論。

2.注意解題的規(guī)范性。

古文中有曰：言之無(wú)文，行而不遠(yuǎn)。正如在高考改卷中常聽(tīng)到改卷教師發(fā)出“要給分?jǐn)?shù)心不安，不給分?jǐn)?shù)心不甘”諸如此類的感嘆，這些感嘆都起源于考生對(duì)解題規(guī)范性的漠視。

今年文理科從第17題開(kāi)始每題都有兩個(gè)或兩個(gè)以上的小題，有的考生解題不寫(xiě)序號(hào)造成失分。如在文理科第17題中，有的考生先求sinA，sinB，sinC似乎是在為了求第2小題做準(zhǔn)備，然而由于在解題中沒(méi)有規(guī)范，從而造成思維混亂，沒(méi)有頭緒，造成失分。

在文科第19題與理科第18題的立體幾何題中，不少考生建立坐標(biāo)系不規(guī)范，有的學(xué)生因?yàn)榻⒌淖鴺?biāo)系是左手系而被扣分，還有的考生因?yàn)榻⒌淖鴺?biāo)系根本沒(méi)有互相垂直而導(dǎo)致整題零分。

在對(duì)文科第20題第2小題的解答中，有的考生在對(duì)不等式進(jìn)行恒等變形的過(guò)程中沒(méi)有對(duì)等價(jià)性進(jìn)行說(shuō)明，結(jié)果造成錯(cuò)誤，如h(t)＜-2t+m對(duì)t∈(0，2)恒成立?圳h(t)+2t-m＜0；還有的考生雖然知道用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法，但是卻因?yàn)闆](méi)有使用規(guī)范性語(yǔ)言引起失分。

3.注意數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，特別是對(duì)易于出現(xiàn)概念混淆或邏輯錯(cuò)誤的地方應(yīng)多加分析和進(jìn)行類比思考。

隨著學(xué)習(xí)的深入，知識(shí)積累的增多，各部分知識(shí)之間的聯(lián)系日益密切，在知識(shí)的交匯處最能多方面、多層次地考查學(xué)生的知識(shí)與能力，所以在高三復(fù)習(xí)階段應(yīng)該特別重視知識(shí)之間的整合，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，如函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論與整體處理的思想，化歸和轉(zhuǎn)化的思想，歸納、猜想、論證的思想方法;有限與無(wú)限逼近的思想方法等。

從文科第18題考生的解答中可以看出有的考生對(duì)和事件與積事件這兩類事件的基本概念理解不到位，產(chǎn)生概念之間的混淆：第1小題在求“甲第三次才成功”事件的概率時(shí)有學(xué)生得P（A）=P（ ）+P（ ）+P（A ）這樣的錯(cuò)誤結(jié)論。還有的考生對(duì)分類思想掌握不完全，如第2小題在求“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一個(gè)人成功”的概率時(shí)，出現(xiàn)如P（B）=P（ B +A）這樣的錯(cuò)誤。

從理科第21題中可以看到部分考生思維欠缺嚴(yán)謹(jǐn)，從q -pr= (p+r-2q)中構(gòu)造矛盾產(chǎn)生錯(cuò)誤，有的甚至無(wú)法構(gòu)造矛盾。

4.注意考試心理調(diào)適，從容應(yīng)考。

今年試卷的考試結(jié)果有不少學(xué)校的教師反映：男生較女生發(fā)揮得好些。也許有兩個(gè)方面原因造成這樣的結(jié)果：一是平時(shí)男生較女生更加注重?cái)?shù)學(xué)思維方面的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)能力方面較強(qiáng)，而這份試卷恰恰強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)思維能力和應(yīng)變能力；二是男生的考試心態(tài)較女生好，對(duì)于在解題中出現(xiàn)的問(wèn)題能夠較快地調(diào)整自己的解題策略，不在一種方法或者一道題上套死。所以在復(fù)習(xí)訓(xùn)練中應(yīng)該注意培養(yǎng)學(xué)生健康的心理素質(zhì)，樹(shù)立自信心，調(diào)整好心態(tài)，以健康平常的心理去迎接高考的洗禮。此外，在教學(xué)中我們也應(yīng)該特別注意：以升學(xué)為教學(xué)的最終目的本沒(méi)有錯(cuò)，但是脫離基礎(chǔ)的純粹應(yīng)試卻會(huì)造成數(shù)學(xué)教育的嚴(yán)重流失。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”