數學思想方法在數學教育中的價值探究

摘 要：近幾年來，在數學教育（本文主要指中學）目的的研究中，促使學生形成正確的數學觀已經越來越受到重視，并提出許多值得一試的教育措施與途徑。本文從數學思想方法在數學觀教育中的價值出發(fā)，說明在教學中講清數學思想有利于學生建立起正確的數學觀念，并設想幾個實現其價值的有較強可行性的教學策略。

關鍵詞：數學思想方法 數學觀

中學生數學觀是指中學生對數學的存在和發(fā)展、理論與應用的初步認識，對數學的個性與共性、具體性與抽象性的基本認識。學生對“數學是什么”的認知直接影響到他們學習數學和解數學題的方式。反之，數學觀教育正是滲透在學數學和解數學題的過程中，要把它獨立出來是不現實的。教師要時刻有意識地引導學生建立正確的數學觀，而適時地講解隱藏在書本知識背后的數學思想方法則是一條必要且必需的教育途徑。

1. 數學思想方法是學生形成正確數學觀的紐帶性知識

數學觀不同于書本知識，它沒有白紙黑字式的展示，更不是僅憑教師三言兩語的傳授可以獲得的。數學觀的形成更加需要學生長期和深刻的體驗。數學思想方法內隱于數學概念、數學原理、數學法則和數學問題之中，較之與數學觀更近了一層，可以說是學生形成正確數學觀的紐帶性知識。

如果抽去這一紐帶，即教師沒有進行可以揭露思想方法的教學，或者學生只是會敘述幾個定理、會解幾道題而沒能領悟其中的別有洞天，則學生很有可能產生消極或錯誤的數學觀。在他們眼中，數學是一堆絕對真理的總集，數學題必能用某一法則求解并在數分鐘內完成，每道題均只需掌握一個正確的解法，學習數學的目的就是要學習這些“標準答案”，學習數學主要在于背誦，等等。

如果學生充分地理解知識，認識到蘊涵其中的最本質的數學思想方法，則對于正確數學觀的建立無疑是幫助良多的。例如，學生在解決某些數學問題時體會到歸納法的妙用，并運用歸納的思想方法進行一些猜想時，他們就不會產生類似“數學是數學家的產物”、“只有天才才能得到數學結果”的想法。相反，學生經過親身體驗猜想、發(fā)現的過程，會有這樣的觀念：數學定理的發(fā)現并非只是天才的專利，很多人都有機會，只要努力就有可能發(fā)現數學定理。這樣，他們在心理上對數學不再敬而遠之，學好數學的信心也會倍增。

中學數學中還有函數、方程和不等式思想，化歸思想、分類思想、數形結合思想、類比聯想等數學思想方法。有人認為，應予以重視的主要有三個：集合思想、化歸思想和對應思想。它們都能使學生以一種聯系的、動態(tài)的觀念來看待數學知識和數學學習，了解到數學并不是一個靜止的僅由一堆法則組成的集合。

2. 從數學思想方法入手進行數學觀教育的實施策略

正如上文提到的，中學數學思想方法的教學不同于一般。靠書本上的羅列和教師苦口婆心的陳述、講解達不到我們最后所要求的數學觀教育的目的。事實上，思想方法的教學應該穿插在其它教學當中，它是一種調節(jié)，更是畫龍點睛之筆。筆者結合數學概念教學、數學命題教學和數學解題教學三個方面談談自己對“如何適時地恰當地講解和滲透數學思想方法”的幾點看法。

2.1 讓學生反思概念中規(guī)定和符號，領會其中帶有的數學思想。

很多的數學概念教學在引出概念后就不斷加以強化，或通過運用概念或干脆通過死記硬背。對于概念中一些規(guī)定的細節(jié)部分，學生是知其然而不知其所以然。這就是因為教師自身的數學觀不健全或者沒有解釋規(guī)定的意識。在這里建議教師以問引思，引導學生對規(guī)定作出反思。例如，數學中為什么要規(guī)定：0！=1，a°=1(a≠1)，y=arcsinx，x∈［－π/2，π/2］等？合不合理？有無更好的規(guī)定方案？通過討論可使學生領會這其中也蘊涵著化歸思想，形成如下數學觀：人類社會為了生存、發(fā)展就要作規(guī)定，只有作了規(guī)定，才能有利于數學的研究、應用和傳播；規(guī)定合不合理，要考慮其存在性、唯一性、相容性、不循環(huán)性；有無更好的方案還必須作美學的考慮。

數學符號更是帶有豐富的數學思想。而學生往往把符號看成毫無生命力的記號，是想當然存在的。建議教師在介紹這些符號的同時，引經據典一番。例如，算術平方根 ，它最先是用一個點表示，8的算術平方根寫成。8，逐漸演變?yōu)椤?筑8→√8→ 。這樣，學生體會到符號是在使用過程中不斷演變和改進的，進而擁有如下數學觀：在研究數學問題時，為使問題簡明，常常要引進數學符號；數學的一切進步都是對引入符號的反應。那么，他們就會非常樂意使用各種數學符號來簡化問題。

2.2 暴露數學命題的發(fā)現背景和過程，體驗數學思想。

新課程標準提供了一種數學命題的教學設計——問題解決模式：

教學的重心放在前兩部分，正是起到了展示命題背景和發(fā)現過程的作用。而在傳統(tǒng)的數學命題教學中，教師往往直接給出命題，把教學的重點放在證明和應用上。經過潛移默化的影響，學生只會很膚淺地敘述、記憶命題。這一點我們在大學時代也深有體會。課堂筆記上密密麻麻羅列的全是定理和嚴格的定理證明，教師完全按照展示命題→證明命題→應用命題的順序教學，而且教師證明定理的思路顯得很突兀。在我眼里，很多專業(yè)課都是由一些孤立而枯燥的命題堆砌而成的。想必經歷著同樣教學模式的中學生也會產生這樣的想法，從而影響了他們正確數學觀的形成。

建議教師盡可能地讓學生了解命題產生背景（介紹一些數學史的知識），體驗發(fā)現命題的過程（探究），使他們感受到數學最有趣、最激動人心的部分——運用歸納思想進行假設、猜想，重演命題發(fā)現歷史。而一些證明意義不大的則可說明而不需要再給出嚴格的證明，并考慮說的方式保證學生的可接受性。這樣通過數學情境運用合情推理的認知方法使數學思想形象暴露，并引起學生情感的共鳴，使他們在解決問題、提出命題中體驗數學思想，并逐步升華為數學觀。

2.3 指導學生有意識地進行解題回顧，提煉數學思想。

滲透數學思想方法的另一大途徑就是解題教學。例如通過解方程、方程組提煉出“降次降維”、“換元”、“轉化”等思想方法。

波利亞提出的解題步驟為：弄清問題，擬訂計劃，執(zhí)行計劃，回顧。大量的教師致力于發(fā)展學生的問題表征能力，幫助制定解題方案，然而卻忽略了最后一步：回顧。于是，學生即使已經練習了一百道題，但在解第一百零一道題時還是會碰釘子。無休止的沉悶的重復計算、證明使學生成為做題機器，就如Heddens所說的，他們做題只是遵循著一個“記憶事實→運用算法→執(zhí)行記憶得來的公式→算出答案”的模式。缺乏回顧的解題教學和現行的“考試課堂文化”讓學生有這樣的數學觀：做數學的目的是找出正確答案。估算、利用數學作出決定及解說一些數學現象等，均不是數學（有的學生甚至表示用文字解釋數學應屬于語文中的“作文題”，而不應屬于數學）；每道題只需要掌握一種解題方法，且有“標準答案”可供參考。學生的數學觀和他們的解題方式互相影響，產生惡性循環(huán)。

所以在解題教學中一定要注意培養(yǎng)學生的回顧意識。建議教師在回顧階段自問：你完成了這道題嗎？為什么用這個方法？還有其它方法嗎？能否對問題進行一些變式、推廣？其中，通過變式加深對數學思想方法的認識已被廣大教育工作者充分運用。至于使用怎樣的變式和推廣技巧或者模式在此就不再贅述。

回顧為講清、滲透數學思想方法提供了絕好的時機。建議教師抓住這個環(huán)節(jié)，不僅教會學生解幾道具體的數學題，更重要的是提煉出蘊涵其中的思想方法，促使學生建立起正確的解決數學問題的數學觀。

參照香港中文大學數學觀研究小組的研究框架（下圖），教師的教學行為直接影響學生的數學觀和數學學習觀。是否進行、是否恰當地進行數學思想方法的滲透教學也直接影響學生數學觀的建立。當然，本文所描述的教學策略并不是實現數學觀教育目的的唯一途徑，拓展知識空間、密切聯系實際等都是行之有效的方法。

參考文獻：

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［４］王光明，張文貴.中學數學思想方法及其教學研究.數學教學研究，1997/1.

（作者系華東師范大學06級教育碩士）

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”