利用函數(shù)極限求出一類數(shù)列極限

摘 要 文章中通過(guò)函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系， 給出了形如 及

(其中 為 的高次多項(xiàng)式)的極限結(jié)果， 使學(xué)習(xí)非數(shù)學(xué)專業(yè)高等數(shù)學(xué)的人群能更加容易地求出此類數(shù)列的極限。

關(guān)鍵詞 數(shù)列極限; 海涅定理

一、引言

數(shù)列極限運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)中最重要最基本的運(yùn)算之一. 在財(cái)經(jīng)類及工程類高等數(shù)學(xué)中， 由于專業(yè)特點(diǎn)決定了這些非數(shù)學(xué)專業(yè)主要側(cè)重于高等數(shù)學(xué)性質(zhì)和定理的應(yīng)用， 對(duì)相關(guān)性質(zhì)及定理往往省略其證明和相關(guān)結(jié)論. 這一特點(diǎn)使

得在求比較復(fù)雜的數(shù)列極限時(shí)比較費(fèi)力. 文章給出了形如 及 (其中 為

的多項(xiàng)式)的極限運(yùn)算結(jié)果， 這樣在遇到此類數(shù)列極限運(yùn)算時(shí)， 就可以比較簡(jiǎn)單地得到其結(jié)果， 從而簡(jiǎn)化此類數(shù)列極限的求解.

二、求數(shù)列極限

數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系有以下結(jié)論[1]:

定理(海涅定理)的充分必要為對(duì)任意數(shù)列 ，， 有

在函數(shù)極限中容易證明下面結(jié)論:

引理 1 設(shè) ， 其中 與 為非負(fù)正整數(shù)， 有

證明 當(dāng) 時(shí)，

證明 設(shè)

令 ， 則 ，

由海涅定理， 得

，

三、求數(shù)列極限

上面所得結(jié)論， 可進(jìn)一步推廣:

引理 2 設(shè) ， 其中 ， ， ， 為非負(fù)正整數(shù)， 且有

證明 當(dāng) 時(shí)，

類似地， 可以證明其余兩種情形.

利用函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系， 可得:

定理 2 設(shè)數(shù)列其中

則

證明 設(shè)

令 ， 則 ，

.

由海涅定理， 得

.

四、結(jié)論

本文利用數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系， 給出了一類較復(fù)雜的數(shù)列極限的求解結(jié)果， 使得在非數(shù)學(xué)專業(yè)高等

數(shù)學(xué)的求數(shù)列極限的過(guò)程中， 能夠更容易地求出形如 及 的極限. 在工程類數(shù)學(xué)、經(jīng)

濟(jì)類數(shù)學(xué)及其它非數(shù)學(xué)專業(yè)領(lǐng)域中， 有許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方法可以總結(jié)出來(lái)， 以便應(yīng)用起來(lái)更加簡(jiǎn)便.

參考文獻(xiàn)

[1] 劉玉璉， 傅沛仁. 數(shù)學(xué)分析講義(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社， 1996.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文