再談“分?jǐn)?shù)大小的比較”

讀了《小學(xué)教學(xué)參考》(數(shù)學(xué)版)2007年第9期諸青老師的《分?jǐn)?shù)大小還可以這樣比較》一文后，深受啟發(fā)。文中介紹了“通分子比較法”“用1減比較法”和“用倒數(shù)比較法”三種方法。實際上分?jǐn)?shù)大小的比較題型較多，方法靈活，下面再介紹幾種常用的方法(小學(xué)數(shù)學(xué)范圍)供讀者參考。

一、求差比較法

求差比較法是一種常用的方法。特別是在中學(xué)數(shù)學(xué)中比較兩個數(shù)(或式)的大小時經(jīng)常用到。由于小學(xué)生沒有學(xué)習(xí)有理數(shù)減法，所以用此法比較大小有一定的局限性。

一般地，已知兩個分?jǐn)?shù)和，若-＞0，則＞；若-=0，則=；若-＜0，＜。

例1 比較98+93與99+92的大小。

分析：本題如果先加再比較，顯然比較麻煩。根據(jù)所比較分?jǐn)?shù)的特點，可用求差的方法進(jìn)行比較。

解：（98+93）-（99+92）

=98+93-99-92

=（93-92）-（99-98）

=1-1

=

因為＞0，所以98+93＞99+92。

二、減相同數(shù)比較法

一般地，已知兩個分?jǐn)?shù)和都大于分?jǐn)?shù)，且接近于，若-＞-，則＞；若-＜-，則＜。

例2 比較分?jǐn)?shù)和的大小。

分析：因為分?jǐn)?shù)和都大于，且接近于。所以，用減相同數(shù)比較法較為簡便。

解：因為-=，

-=，

而＞，

所以＞。

三、求商比較法

求商比較法也是一種常用的方法。一般地，已知分?jǐn)?shù)和，若÷＞1，則＞；÷＜1，則＜。

例3 比較和的大小。

分析：因為(123，164)=41，(208，273)=13，所以本題用求商比較法較為簡便。

解：因為÷=×=＜1，

所以＜。

四、交叉相乘比較法

交叉相乘比較法的理論依據(jù)是兩個分?jǐn)?shù)不等與相等的定義。即：已知分?jǐn)?shù)和，若ad＞cb，則＞；若ad＜cb，則＜；若ad=cb，則=。

例4 比較與的大小。

分析：因為已知兩分?jǐn)?shù)的分子分母都較小，且交叉相乘比較好算。所以此題可以通過交叉相乘法比較大小。

解：因為21×54=1134，35×35=1225，

而1134＜1225，

所以＜。

五、化小數(shù)比較法

化小數(shù)比較法是先分別把已知分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，然后通過比較小數(shù)的大小，從而得到分?jǐn)?shù)的大小。

例5 比較和的大小。

分析：此題可用“倒數(shù)比較法”“用1減比較法”，也可用“化小數(shù)比較法”。

解：因為==0.099，

==0.0999，

而0.099＜0.0999，

所以＜。

六、中介數(shù)比較法

中介數(shù)比較法是指：已知兩個分?jǐn)?shù)和，找到一個分?jǐn)?shù)，如果＜，而＜，那么＜。

例6 比較與的大小。

分析：因為與都比較接近，且介于這兩數(shù)之間，所以可用中介數(shù)比較法比較。

解：因為＞，又＞，

所以＞。

七、轉(zhuǎn)化比較法

轉(zhuǎn)化比較法是指：已知兩個分?jǐn)?shù)和，找到一個分?jǐn)?shù)，…使得＜＜＜…＜，所以＜。

例7 比較與的大小。

分析：此題直接比較顯然較麻煩，所以可用轉(zhuǎn)化的方法進(jìn)行比較。

解：因為==＜＜，

所以＜。

八、公式比較法

公式比較法是指：一個分?jǐn)?shù)的分子、分母同時加上或減去同一個大于0的數(shù)，所得的結(jié)果與這個分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較的方法。可概括為以下兩個公式；

公式1：當(dāng)0＜b＜a時，＞，＜。（0＜m＜b）

公式2：當(dāng)0＜a＜b時，＜，＞。（0＜m＜a）

對公式1給出如下證明：

證明：1）已知分?jǐn)?shù)和，（0＜b＜a，且m＞0）

交叉相乘得a(b+m)=ab+am，

(a+m)b=ab+mb，

因為ab=ab，

am＞mb，(0＜b＜a，且m＞0)

所以ab+am＞ab+mb，

即a(b+m)＞(a+m)b。

所以＞。（兩個分?jǐn)?shù)不等的定義）

2）證明：已知分?jǐn)?shù)和，（0＜b＜a，且0＜m＜b）

交叉相乘得a(b-m)=ab-am，

(a-m)b=ab-mb，

因為ab=ab，

又0＜b＜a，且0＜m＜b

所以am＞mb。

則ab-am＜ab-mb，

即a(b-m)＜(a-m)b。

所以＜。（兩個分?jǐn)?shù)不等的定義）

同理可證公式2。

例8 比較和的大小。

分析：此題除例5提到的三種方法外，也可通過轉(zhuǎn)化運(yùn)用公式2比較。

解：因為==，

而＜=，（根據(jù)公式2）

所以＜。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文