論證洛侖茲力公式中Ｖ的參照系

[摘要]在電荷相對于磁場或相對于導體的速度一定時，不同參照系其受力情況是不同的，從正反兩方面論證在磁場中運動電荷的速度是相對于觀察者的。

[關鍵詞]參照系 速度 洛侖磁力

運動電荷在磁場中所受的洛侖茲力F=qV×B。一般書上只說V是電荷q在磁場中的運動速度并不指出其參照系，而在實際中，相對不同的參照系存在三種理解：（1）電荷相對與磁場的速度。（2）載流導體中電荷相對于導體的速度。（3）電荷相對于觀察者的速度。如果磁場載流導體和觀察者相對靜止，這三種理解是等效的。但是在一般情況下，（1）、（2）兩種理解是錯誤的，只有第（3）種理解才是正確的。下面我們分別給予論證。

一、速度V不是相對于磁場的

設空間某一區域有一均勻磁場B，一段導體以速度V向右運動。無論是在對于磁場靜止的參考系Ｋ中，還是在相對于導體靜止的參考系K/中導體中的電荷與磁場之間相對運動速率都是V。而在這兩種情況下，由F=qV×B所決定的洛侖茲力是完全不同的。

在參考系K中，自由電子的運動速度是V，它所受洛侖茲力FL/=-eV×B，方向向下（圖1）自由電子受到洛侖茲力作用后向下運動，從而在兩端發生電荷堆積。

在參考系K/中，自由電子相對靜止，它受的洛侖茲力為零（圖1）。但仍在導體兩端發生電荷堆積，原因是：由于電磁場量的相對性，在K′系看來不僅有磁場還應有電場。自由電子不受磁場力但將受到一個同樣大小和方向的電場力，從而使電荷重新分布。

根據相對論，設K/系相對于K系以速度V沿X方向運動，則同一電磁場的E和B，在這兩個參數系之間的變換關系如下。

E/X=EXB/X =BX

E/y=r（Ey- VBX）B/y=r（By+ VEX /C2）——①

E /X= r（EX + VB y）B/X =r（BX- VEy /C2）

其中r=1/ (1-V2/C2)1/2

在低速時（V《C時》 上式可變換為：

E/=E+V×BB/=B－1/c2(V×E)——②

由上式，在K/中可得，導體周圍除了磁場B/=B外，還存在電場E/=V×B，該電場依賴于磁場，不依賴于電荷，屬于感生電場導體中的自由電子將受到一個向下的感生電場力Fe=-eE/=-eV×B，其大小和方向都與K系中的自由電子所受洛侖茲力茲FK相同，由此可得導體兩端會出現電荷堆積。所以洛侖茲力公式中V不是電荷相對于磁場的速度。

二、速度V不是相對于導體的

在磁場B中的一般載流導體dl，設自由電子相對于導體的平均定向移動速度是V1，同時導體相對于磁場以速度V2順著導體向右運動（如圖2）。無論是在相對于磁場靜止的參考系K中，還是在相對于導體靜止的參考系K/中，自由電子相對于導體的速度都是V1（忽略相對論效應）。而在這兩種情況下，由F=qV×B所決定的洛侖茲力是不同的。在相對于導體靜止的K/系中，自由電子的運動速度是V1，它所受的洛侖茲力FK/=-eV1×B；但在相對于磁場靜止的K系中，自由電子的速度是V1+V2；它所受的洛侖茲力FK=-e(V1+V2)×B

載流導體所受的安培力，才是在任何情形下只依賴于電荷相對于導體的平均速度V1，因為此速度決定著導體中的電流強度。電子在等大反向的霍爾電場力和洛侖茲力作用下，作無測向漂移的定向運動，而晶格中的正電荷只受霍爾電場力的作用，其宏觀效果是載流導體所受的安培力：dFA=Idl×B=-NeV1×B

在K系中，自由電子受洛侖茲力的作用，導體的兩側要出現電荷堆積，形成一個豎直向下的霍爾電場EH在平衡時：EH=-( V1+V2)×B；在此自由電子所受的洛侖茲力FK與霍爾電場力FH=-eEH等大反向，恢復其原來的定向漂移運動而自由電子和晶格中的正電荷，對霍爾電場的反作用力也等大反向，其合力對安培力沒有貢獻。自由電子仍然在平衡力作用下定向運動，而晶格中的正電荷這時要受兩個力：一個是霍爾電場力F1=-e(V1+V2)×B；另一個是導體牽連運動引起的洛侖茲力F2=eV2×B。晶格上所有正電荷所受的合力，其宏觀效果就是載流導體所受的安培力FA=N(F1+F2)=-NeV1×B=Idl×B，它與K/系中的安培力完全相同。在兩個參數系中出現了不同的電磁現象。

由此可見，洛侖茲力公式中的V不是相對于導體的速度。

三、速度V是相對于觀察者的

電荷在電磁場中所受的力F=qE+qV×B是與觀察它的參照系密切相關的。在電荷相對于磁場或相對于導體的速度一定時，不同參照系其受力情況是不同的，因此F=qV×B中的V是電荷相對于給定參照系中觀察者的速度。

（作者單位：貴州電子信息職業技術學院）