遺傳算法求解機會約束下半絕對離差投資組合模型

摘 要：建立了機會約束下的半絕對離差投資組合模型，求解機會約束時不將機會約束轉化為確定的等價類型，而把機會約束用隨機模擬技術來處理；應用遺傳算法求解半絕對離差投資組合模型，并根據真實市場數據驗證模型的有效性。結果表明：應用隨機模擬技術和遺傳算法求解機會約束下的半絕對離差投資組合模型是可行的，且方法簡單、易于實現。進一步研究可以在工程優化和投資分析等許多領域找到新的應用。

關鍵詞：遺傳算法；機會約束；半絕對離差；投資組合模型；隨機模擬

中圖分類號:F830.59 文獻標志碼:A 文章編號:1673-291X（2008）15-0090-02

引言

證券投資組合[1]，是指為了避免或分散大的風險，投資者將資金分散投資到若干種證券中，以降低風險。一般來說，把全部資金投在一種或極少種證券上，則不論證券的質量多好，風險也是很大的，為了避免或分散較大風險，投資者可按不同的投資比例對多種證券進行有機組合，即所謂證券投資組合，以期取得最大的經濟效益。

1991年KONO等[2～3]提出了絕對離差投資組合模型，用收益率的絕對離差表示風險，由于絕對離差不具備良好的解析性質，無法給出投資組合解的解析表達式。后來在絕對離差的基礎上，該模型發展成了半絕對離差投資組合模型[4～5]。半絕對離差投資組合模型更符合投資者的心理，且能用非數值算法求解。在現實生活中，投資者選擇證券投資組合，要求在實際收益率大于期望收益率的概率不小于某一置信水平的前提下，使風險達到最小，這就是機會約束下的投資組合模型[6～10]；一般來說，求解機會約束的方法通常是將機會約束轉化為相應的確定性等價類型來對其求解，但是現實中，能轉化為確定的等價類型的機會約束是很少的；隨機模擬是一種實現隨機系統抽樣實驗技術。雖然隨機模擬是一種很不精確的技術，但對那些無法用解析方法處理模型卻是一種十分有效的方法。

遺傳算法[11～12]是建立在自然選擇和群體遺傳學基礎上的一種非數值計算優化方法，隨機產生若干個染色體構成的初始種群，通過對種群的選擇、交叉、變異等遺傳操作，從一初始解的種群開始迭代，逐步淘汰較差的解，產生最優解。

大量實證結果表明：風險資產收益的聯合分布往往呈現厚尾特征且服從自由度較低的分布，同時基于正態分布的各種資產定價定價理論在分布下通常也是正確的[2，13]。

一、模型的建立

在現實生活中，由于風險資產收益率本身具有隨機性，投資者選擇證券投資組合時，要求在實際收益率大于期望收益率的概率不小于某一置信水平的前提下，使風險達到最小，這就是機會約束下的投資組合模型，其數學表述為：

二、隨機樣本模擬

在資產收益率不服從正態分布的情況下，模型（2）中的機會約束可能不一定有相應的解析表達式，很難計算出相應的確定等價類型，計算起來也很困難，故對這樣的模型采用隨機模擬技術來近似求解比較方便。模型（2）中的機會約束可采用隨機模擬（Monte Carlo）方法[14～15]近似計算，具體實現方法如下：

步驟1：置N=0，固定機會約束中的x，用Metropolis 算法從t分布的概率密度函數中產生M個服從t分布的樣本。

步驟2：判斷M個樣本的組合值是否大于R；如果大于R，則保留這M個樣本；則N= N+1。

步驟3：重復以上步驟1和步驟2共N次( N

≥1-a。

步驟4：利用步驟1的方法隨機產生大小為M的樣本，重復步驟1共T—N次。

步驟5：從以上步驟1、2、3、4中得到M×T維樣本矩陣。

三、遺傳算法

用遺傳算法求解模型（2）的基本思想是隨機產生一個初始種群，然后反復進行選擇、交叉、變異等遺傳操作，并利用目標函數作為適應度函數對每一代的染色體進行評價，給定終止條件，從而得到最優解的最近解，具體算法過程如下：

步驟1：設置種群規模、最大遺傳代數、交叉概率、變異概率。

步驟2：在可行域內，隨機生成二進制編碼的初始染色體種群，并對初始種群進行解碼和歸一化。

步驟3：計算適應度函數的值和每條染色體的選擇概率。

步驟4：根據選擇概率、交叉概率和變異概率對初始染色體種群進行選擇、交叉、變異操作。

步驟5：重復以上步驟3和步驟4，直到滿足迭代終止條作，得出最優染色體和目標值。

步驟6：畫出迭代次數與目標函數的關系圖。

四、模型求解與實例分析

對上述算法應用matlab軟件進行編程求解。假設證券隨機收益服從自由度為m=5的t分布時，選取深證A股15支股票，2003年1月至2008年1月，共60個月的月收益數據，應用matlab軟件對模型（2）進行實證分析，具體數據見下表：

利用遺傳算法求解時輸入參數：交叉概率PC=0.86，變異概率Pm=0.058，迭代次數500，代溝為0.9，R=0.03，a=0.1.求得目標函數最優值等于0.0084，最優權重向量:

X=（0.0381，0.0874 ，0.2338，0.0985，0.0419，0.1982，0.0204，

0.0947，0.0678，0.0397，0.0095，0.0194，0.0028，0.0062，0.0417)

迭代次數與目標函數的關系

從迭代次數與目標函數值的關系（見左圖）可以看出該算法經過280代后開始收斂，并且得到了該模型的近似最優解。

五、結束語

本文研究了機會約束下求解半絕對離差投資組合模型的一種方法，利用隨機模擬技術在資產收益服從自由度為5的t 分布時，以機會約束作為樣本產生的依據來隨機產生風險資產的隨機收益率；利用遺傳算法來求解半絕對離差投資組合模型。實驗結果表明：該方法用隨機模擬技術和遺傳算法在matlab軟件中成功地實現了模型的求解，避免了將機會約束轉化為確定的等價類型的求解的復雜計算過程，同時也易得到全局最優解，進一步研究可以廣泛應用于金融和最優控制等許多領域。

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[責任編輯 陳麗敏]