Ｓｕｐｅｒ ｓｔａｒ爭霸賽

立體圖形王國正在舉行一年一度的“Super star”爭霸賽，下面就讓我們一起去為選手們吶喊助威吧。

第一關——圖形拼切

解題要訣

（1）切實掌握立體圖形的特征，熟悉表面積和體積的計算方法；

（2）仔細分析每一步操作后表面積和體積的變化情況；

（3）把一個立體圖形沿水平方向或垂直方向切割成兩部分，增加的表面積等于切面面積的兩倍。

經典題析

例1一個正方體形狀的木塊，棱長為1米。若沿正方體的三個方向分別鋸成3份、4份和5份，如下圖，共得到大大小小的長方體60塊，這60塊長方體表面積的和是多少平方米？

分析和解如果將60個長方體逐個計算表面積的話，會是個很復雜的問題，更何況鋸出的小木塊長、寬、高都未知，這使得計算小長方體的表面積成為不可能的事。如果換一個角度考慮問題：每鋸一次就得到兩個新的切面，這兩個面的面積都等于原正方體一個面的面積，也就是，每鋸一次表面積增加1＋1＝2（平方米），這樣只要計算一下鋸的總次數就可使問題得到解決。原正方體表面積：1 × 1 × 6＝6（平方米），一共鋸了多少次（次數比分的段數少1）：（3 －1） ＋（4 －1） ＋（5 － 1） ＝ 9（次），表面積：6 ＋ 2 × 9 ＝ 24（平方米）。

例2把兩個相同的長方體木塊拼成一個正方體后，表面積減少了24平方厘米，原來每個長方體木塊的表面積是多少平方厘米？

分析和解分析題意畫出示意圖可以發現，原來長方體的上、下、前、后四個面的面積都相等，且是右面面積的一半。把兩個長方體拼成一個正方體后，減少了兩個面，每個面的面積是24÷2 = 12（平方厘米）。所以原來長方體的上、下、前、后四個面的面積之和為12÷2×4 = 24（平方厘米）。原來每個長方體木塊的表面積是12×2＋24＝48（平方厘米）。

小試身手

1. 一個棱長為6厘米的正方體木塊，如果把它鋸成棱長為2厘米的正方體若干塊，表面積增加多少厘米？

2. 把三個棱長都是2厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是多少平方厘米？

第二關——等積變形

解題要訣

1. 將一個物體變形為另一種形狀的物體（不計損耗），體積不變；

2. 兩個物體熔化成一個物體后，新物體的體積是原來物體體積的和；

3. 物體浸入水中，物體在水中會占領一部分的體積，排開的水的體積等于物體的體積。

經典題析

例3有兩個無蓋的長方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱空著。從里面量，甲水箱長40厘米，寬32厘米，水面高20厘米；乙水箱長30厘米，寬24厘米，深25厘米。將甲水箱中部分水倒入乙水箱，使兩箱水面高度一樣，現在水面高多少厘米？

分析和解由于后來兩個水箱里的水面高度一樣，可以這樣思考：把兩個水箱并靠在一起，水的體積=（甲水箱的底面積+乙水箱的底面積）× 水面的高度。這樣，只要先求出原來甲水箱中水的體積：40 × 32 × 20 ＝ 25600（立方厘米），再除以兩只水箱的底面積和：40 × 32 ＋ 30 × 24 ＝ 2000（平方厘米），就能得到后來水面的高度，即25600 ÷ 2000 ＝ 12.8（厘米）。

例4有一個長方體容器（如下圖），長30厘米、寬20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把這個容器蓋緊，再朝左豎起來，里面的水深應該是多少厘米？

分析和解首先求出水的體積：30 × 20 ×6 ＝ 3600（立方厘米）。當容器豎起來以后，水流動了，但體積沒有變，這時水的形狀是一個底面積是20 × 10 ＝ 200（平方厘米）的長方體。只要用體積除以底面積就知道現在水的深度了。3600 ÷ 200 ＝ 18（厘米）。

例5一個酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），如下圖。已知它的容積為26.4π立方厘米。當瓶子正放時，瓶內酒精的液面高為6厘米；瓶子倒放時，空余部分的高為2厘米。問：瓶內酒精的體積是多少立方厘米？（V圓柱=?仔r2h）

分析和解由題意知，液體的體積是不變的，瓶內空余部分的體積也是不變的，因此可知液體體積是空余部分體積的6 ÷ 2=3倍。26.4?仔 × ＝ 62.172（立方厘米）。

小試身手

3. 一根圓柱形鋼材，沿底面直徑割開成兩個相等的半圓柱體，如下圖。已知一個剖面的面積是960平方厘米，半圓柱的體積是3014.4立方厘米。求原來鋼材的表面積和側面積。（S側面積=2?仔rh，S表面積=2?仔r2+S側面積）

4. 在一只底面直徑是40厘米的圓柱形盛水缸里，有一個直徑是10厘米的圓錐形鑄件完全浸于水中。取出鑄件后，缸里的水下降0.5厘米，求鑄件的高。（V圓錐=?仔r2h）

5. 在邊長為4厘米的正方體木塊的每個面中心打一個邊與正方體的邊平行的洞。洞口是邊長為1厘米的正方形，洞深1厘米（如下圖）。求挖洞后木塊的表面積。

第三關——不規則圖形求積

解題要訣

1. 通過轉化的方式把不規則立體圖形分解成規則立體圖形；

2. 求出規則圖形的體積或表面積后，再計算它們的和或差；

3. 要注意表面積的增減變化規律；

例7下圖所示為一個棱長6厘米的正方體，從正方體的底面向內挖去一個最大的圓錐體，求剩下的體積是原正方體的百分之幾。（保留一位小數）

分析和解觀察可知，直圓錐底面直徑是正方體的棱長，高與棱長相等。剩下體積等于原正方體體積減去直圓錐體積。正方體體積：63 ＝ 216（立方厘米）。圓錐體積：× 3.14 ×（）2 × 6 = 56.52（立方厘米）。剩下體積占正方體體積百分數：（216－56.52）÷216 ×100％≈73.8％。

小試身手

6. 有一個圓柱體的零件，高10厘米，底面直徑是6厘米，零件的一端有一個圓柱形的直孔，如后圖。圓孔的直徑是4厘米，孔深5厘米。如果將這個零件接觸空氣部分涂上防銹漆，一共需涂多少平方厘米？

7. 一個零件形狀大小如下圖。它的體積是多少立方厘米？表面積是多少平方厘米？（單位：厘米）

第四關——圖形涂色

解題要訣

如果把一個表面涂有顏色的正方體（或長方體）每一面切N刀，那么有下面的關系：小方塊總數是（N＋1）3，3面有色的是8塊，2面有色的是12（N－1）塊，1面有色的是6（N－1）2塊，6個面都沒有顏色的是（N－1）3塊。

例8一個正方體的表面涂滿了紅色，然后如下圖切開，切開的小正方體中：3個面涂有紅色的有幾個？2個面涂有紅色的有幾個？1個面涂有紅色的有幾個？6個面都沒有涂色的有幾個？

分析和解觀察示意圖，可知，每個面都要切2刀。所以，切成的小正方體一共有（2＋1）3=27（個）。3個面涂有紅色的小正方體在大正方體的頂點處，共有8個；2個面涂有紅色的小正方體在大正方體的棱上，共有12×（2－1）＝12（個）；1個面涂有紅色的小正方體在大正方體的六個面上，共有6×（2－1）2=6（個）；6個面都沒有涂色的在大正方體的中間，有（2－1）3＝1或27－8－12－6＝1（個）。

小試身手

8. 把一個棱長是5厘米的正方體的六個面涂滿紅色，然后切成1立方厘米的小正方體，這些小正方體中，1個面涂紅色的、2個面涂紅色的、3個面涂紅色的以及6個面都沒有涂色的各有多少個？

9. 把若干個體積相同的小正方體堆成一個大的正方體，然后在大正方體的表面涂上顏色，已知2個面被涂上紅色的小正方體共有24個，那么，這些小正方體一共有多少個？