優化設計·有效探究·提升思維

“三角形的認識”是學生在已接觸并初步認識三角形和直角的基礎上學習的，本課的教學目標是使學生聯系實際與利用生活經驗，通過觀察、操作等學習活動知道三角形各部分的名稱，了解三角形中兩邊之和大于第三邊，并能解決一些實際問題。

本著讓學生學習有意義、有價值的數學，我在教學中作了以下探索。

片斷一：問題前置，情境導入

師：請同學們看黑板，從學校步行到少年宮去參觀，有幾條路線可以選擇？怎樣走最節省時間？

生1：有一條路線，從學校直接到少年宮。

生2：一共有三條路線，可以先到電影院再到少年宮，或者先到郵局再到少年宮，還可以直著走。

師：對。既可以經過電影院到少年宮，也可以經過郵局到少年宮，還可以從中間一條路直接走到少年宮。那么，走哪一條路最節省時間呢？

生3：我認為走中間一條路最近。

師：你們同意嗎？

生：同意！

師：為什么走中間這條路最近呢？通過今天的學習，你們會明白其中的奧妙。在這里，你能發現我們已經認識的圖形嗎？

生4：有三角形。

生5：還有四邊形。

師：今天，我們要進一步認識三角形，探究一些新的知識。(板書課題)

思考：如何讓導入更有效？

教材是這樣安排的：出示一座現代橋梁的照片，讓學生在圖中找出三角形，然后說說生活中哪些地方能看到三角形，從而揭示課題。我覺得如此按部就班地導入，顯得有些呆板。這道練習題是“想想做做”的最后一題，問題是：“從學校到少年宮有幾條路線？走哪條最近？你是怎樣想的？”作為鞏固應用的習題，我認為尚缺乏深度。為了激發學生的學習興趣，引發學習內驅力，我大膽地重組教材，將問題前置，把本題設計成導入題，并且略作調整，將“走哪條路最近”改為“怎樣步行最節省時間”，讓學生的思維提高一個層次，由節省時間想到要走最近的路。

憑借直覺和生活經驗，學生都認為走中間那條路最近，我覺得這也是本課學習內容的“最近發展區”。于是，我設置懸念導入：“為什么走中間這條路最近呢？通過今天的學習，你們會明白其中的奧妙。”讓學生帶著問題饒有興趣地接著學習，即任務驅動。

片斷二：實踐操作，遭遇尷尬

師：請你們拿出課前準備好的小棒(3cm、4cm、6cm和9cm的小棒各一根)，同桌合作，任意取三根小棒圍一圍，看能否圍成三角形。爭取把各種不同的情況都找出來，并填寫好表格(如下)。

(學生操作后交流)

生1：我用4cm、6cm和9cm的小棒，可以圍成一個三角形。

(師根據回答填表)

生2：3cm、6cm和9cm的小棒，也可以圍成一個三角形。

生3：不可以。

生4：可以的。(其他學生也開始爭論)

師：我們先把幾種圍的情況填寫完，能否圍成三角形我們待會兒再來判斷，好嗎？

生5：6cm、9cm和4cm的小棒，可以圍成一個三角形。

師：請大家仔細看一看——

生6：上面已經寫過了。

師：對，已經出現過的我們就把它擦去，填表時要做到不重復。還有沒有？

生7：6cm、3cm和4cm的小棒，能圍成一個三角形。

生8：9cm、3cm和4cm的小棒，不能圍成一個三角形。

師：四根小棒中任意選擇三根，試著去圍三角形，只有這四種情況。請你們對照自己的表格，檢查一下，有重復或遺漏的修改過來。

師：大家對“9cm、3cm和4cm的小棒，不能圍成一個三角形”有意見嗎？

生：沒有。

師：請同學們取出這樣的三根小棒再試一試。(生操作)

師：誰來說說它們為什么不能圍成一個三角形？

生9：因為3cm和4cm的兩根小棒太短了。

(師隨手拿起講桌上的一把米尺和兩枝鉛筆，示范給學生看，學生們都笑了)

師：當然，也不能像這樣（ ），這只是組成了一個特殊的圖形，不能說圍成了一個三角形，這里的圍是指三根小棒要首尾相接。

師：你們認為在什么情況下，三根小棒圍不成三角形呢？

生10：當兩根小棒的長度沒有另一根長時。

師：還有誰能表達得更清楚、更完整？

生11：當兩根小棒加起來都沒有另一根長時，不能圍成三角形。

師：剛才有同學對3cm、6cm和9cm的小棒能否圍成三角形有不同的看法，事實勝于雄辯，請大家選出這三根小棒，再來圍一圍。(生操作)

生12：能圍成三角形。(大多數學生附和)

生13：不能圍，夠不著。(少數人贊同)

師：事實上，這樣的三根小棒是不能圍成三角形的。(生疑惑)到底是怎么回事呢？因為你們手中的小棒都比較粗，側面看有一定的厚度(師畫圖，如右圖)，有些同學把小棒兩端的邊接到了一起，好像剛好能圍成一個三角形。假如這樣的小棒足夠細時，或者是三條線段時，畫出草圖我們會發現，兩條較短的線段合起來正好和最長的——

生：一樣長。

師：這時，能不能圍成一個三角形？

生：不能。

師：那么，什么時候三根小棒才能圍成一個三角形？

生14：一定要其中兩根小棒的長度加起來比另一根長。

師：我們來歸納一下，在三角形中，三條邊之間有怎樣的關系？

生15：三角形兩條邊的長度和要大于另一條邊。

師：對，在三角形中，兩邊之和大于第三條邊。現在你們能解釋，為什么從學校到少年宮走中間一條路最近了嗎？

……

思考：如何讓學生走出操作的誤區？

教材上選用4cm、5cm、6cm和10cm的小棒各一根，而學具袋中沒有10厘米的小棒，只有2厘米的小棒。為了不出現自由選擇小棒過多地干擾學生的操作，我要求學生課前準備3cm、4cm、6cm和9cm的小棒各一根，正好和教材上的相對應，便于學生歸納三角形三邊的長度關系。

當學生交流中出現重復現象時，我沒有直接指出，而是先寫下來，“請大家仔細看一看”，并及時點撥“填表時要做到不重復”，提醒學生注意“不遺漏”。對“9cm、3cm和4cm的小棒不能圍成一個三角形”，讓學生再次操作，并用米尺和鉛筆夸張地演示，幫助學生理解“圍”的本質，加深印象。面對“3cm、6cm和9cm的小棒能不能圍成一個三角形”，也讓學生再度實踐，然而我卻遭遇了尷尬。

“實踐操作”是新課程倡導的有效學習數學的重要方式之一。美國早就流行“木匠教學法”——做過才能更好地掌握。而我的課堂上，學生為何會被實踐操作引入了迷宮？用3cm、6cm和9cm的小棒不是勉強可以圍成一個三角形嗎？是學生的錯？是我的錯？還是小棒惹的“禍”？課堂上，我“急中生智”的權威性解釋能讓他們信服嗎？雄辯勝于事實嗎？有沒有更科學、更合理的方法來解決呢？我陷入了沉思：如何引領學生走出操作的誤區？

策略一：另選幾根小棒，不出現兩根小棒之和正好等于第三根的情況，讓學生根據“9cm、3cm和4cm的小棒不能圍成三角形”和老師示范的“一把米尺和兩枝鉛筆不能圍成三角形”去推測：兩條短邊的和應該比長邊長一些。這樣可以避免操作中“搭角的尷尬”，但是沒有了直觀的操作，抽象推測的難度恐怕超出了學生的能力，一旦學生無法推測，還得由教師去“告訴”，這不又成了簡單的“填鴨式”教學？

策略二：選用多媒體設備，借助實物投影示范，但如果仍是這三根小棒，恐怕還是難以走出這樣的尷尬。惟有重新選擇材質，摒除有粗細的小棒，選用鉛芯或者極細的鐵絲，這樣去圍時它們將重合，從而讓學生真正感知這樣的三根小棒“圍不成三角形”。

策略三：可以選用塑料吸管，如14cm長的，折成3cm、4cm和7cm三段，讓學生猜測能否圍成一個三角形，然后示范操作，這樣可以加深學生對三角形三條邊關系的理解。

所以，教師在教學預設時，要親自動手去做一做，真正站在學生的視角去看待問題，不能想當然。只有預設充分，做到胸有成竹，才能在課堂上游刃有余，組織教學才能得心應手。

片斷三：拓展應用，提升思維

出示：有兩根小棒，長度分別是10cm和6cm，你能否給它選配整厘米數的第三根小棒圍成一個三角形嗎？有哪幾種情況？并填寫下表。

(學生填表，教師巡視，提醒他們遇到困難可以相互討論)

師：下面我們來交流一下，第三根小棒可以是幾厘米？

生1：第三根小棒可以是5厘米，也可以是7厘米。

生2：還可以是8厘米、9厘米。

生3：6厘米、10厘米也可以。

師：哦，這么多。我們來分析一下，第三根小棒至少要幾厘米，才能和10厘米、6厘米的小棒圍成一個三角形？

生4：至少要4厘米。

生5：至少要5厘米。

師：到底應該是幾厘米？說說理由。

生6：4厘米加6厘米正好等于10厘米，這樣不可以圍成一個三角形，所以至少要5厘米。

師：你表達得真清楚！你們聽明白了嗎？

生：明白了。

師：我們可以從5厘米寫起——

生：6厘米、7厘米、8厘米……20厘米……

(教師在表格下面寫到20厘米時停了一下，個別學生說20厘米不可以，大部分學生還由著性子接著往下說，教師也就跟著點上幾個點)

師：剛才有人說20厘米不可以，為什么？

生7：因為10+6=16(厘米)，20厘米的那根小棒太長了，所以不行。

師：哦，又出現這種情況了。(再次示范用一把米尺和兩枝鉛筆去圍三角形)那么，第三根小棒最長只能是多少厘米呢？

生8：16厘米。

生9：16厘米還是太長了，只能是15厘米。

師：說說理由。

生10：因為兩根加起來正好是16厘米，而第三根小棒應該比16厘米短一點。

師：對！剛才我們把10厘米看做最長的邊找出最短邊是5厘米，現在應該把6厘米和10厘米看做兩條短邊，找出最長的邊是15厘米。所以，這第三根小棒應該在多少厘米到多少厘米之間？

生：應該在5厘米到15厘米之間。

師：請你們按順序重新填寫表格。(生填寫)

師：如果第三根小棒不是整厘米數，那應該是幾厘米到幾厘米之間？有多少種？

生11：從5厘米到15厘米，有無數種。

師：是不是這樣呢？(生不知所措)

師：我們剛才討論的是整厘米數，所以最短是5厘米，其實只要比幾厘米稍微長一點就可以和6厘米、10厘米的小棒圍成三角形了？

生12：只要比4厘米長一點就可以了。

師：因為三角形三條邊的長度關系是——

生：兩邊之和大于第三邊。

師：所以，第三條邊只要比4厘米長一點點就可以了。今后我們學了小數，就可以是4.1厘米——

生：4.2厘米，4.3厘米……

師：還可以是4.01厘米、4.001厘米等。那么，最長只要比幾厘米稍微短一點？

生13：比16厘米短一點。

師：真善于動腦！確實如此，這樣大于4厘米又小于16厘米的小棒，都可以和6厘米、10厘米的小棒圍成三角形。

師：還有一題，請同學們課后思考填表：把一根15厘米長的吸管剪成三段，用線串成一個三角形，每小段都剪成整厘米數，有多少種方法？

……

思考：如何讓探究更深入？

學生思維的隨意性強，有時憑直覺解決問題，而數學學習不能光憑直覺，更多的時候需要講究思維的嚴密性和邏輯性，那么就需要給探究一個合適的支點。我在學生列舉的基礎上，引導他們發現規律，培養其邏輯思維能力。當學生出現“思維滑坡”時，我沒有馬上停下來告訴學生錯了，而是停頓一下，來一個暗示，再寫出省略號，引導他們探究。同時，抓住學生中的不同意見，引發學生的深度思考，使學生明白數學是嚴謹的科學，不能信馬由韁，要言之有據，以理服人。

學生歸納出第三根小棒的長度取值范圍已經很不容易了，但我并沒有就此結束，而是“乘勝追擊”，進一步提問：“如果第三根小棒不是整厘米數，應該是幾厘米到幾厘米之間？有多少種？”挑戰思維極限，給學生以更廣闊的空間。學生可能反應不過來，我再度提示學生思考三角形三條邊的長度關系，讓他們明白第三根小棒的長度取值范圍。學生的思維層次在教師的有效引領下不斷提高，思維能力逐步提升。課尾還留了一道開放性更強的習題，讓學生接著探究，進一步鞏固所學知識，體會數學的趣味性和實用性，提高靈活運用知識解決實際問題的能力。讓學生帶著問題走進課堂，帶著探究的欲望和疑問走出教室。課已畢，意未盡。

新課程倡導，教師不是教教材、教知識，而是要靈活地、創造性地用教材去教。所以，教學既要根據教材的邏輯起點進行設計，又要了解學生的知識經驗，整合教學資源，充分發揮教師的引領作用，組織學生開展有效的探究，設計具有一定思維層次的練習題，讓不同的學生得到不同的發展。