混合譜數據反問題研究

【摘要】 本文主要研究了混合譜數據的反問題，即奇異值和特征值反問題。通過對以往定理的研究和證明，借助于奇異值分解，構造已知奇異值與特征值的矩陣，使線性代數的許多課題和實踐中的一些重要應用都變得更易于理解。

【關鍵詞】 混合譜；數學

【中圖分類號】 G642

【文獻標識碼】 B

【文章編號】 1005-1074(2008)08-0152-01

1 引言

對任意給定的一般方陣，特征值與奇異值是兩個最顯著的特點。而奇異值分解是研究數值線性代數及其應用問題的重要工具。隨著數值線性代數的深入研究，對已知矩陣的奇異值與特征值的計算，已經形成了有效且穩定的算法，而本文研究的是其反問題，即已知一個矩陣的特征值與奇異值，如何構造這個矩陣。Weyl-Hom定理給出了一般方陣的特征值與奇異值的關系，本文擴展了以往的研究結果，討論了以給定的 m(m≤n)個非負數 s1，s2，…，sm為奇異值和n個給定的復數λ1，λ2，…，λn為特征值的情形，并改進了n階復矩陣的構造算法。

引理1.1 任給n階方陣，其特征值 λ1，λ2，…，λn與奇異值 s1，s2，…，sm排列如下：

λ1≥λ2≥…≥λn，s1≥s2≥…≥sm≥0（1.1）

那么有： ∏kj=1λj≤ ∏kj=1sj， k=1，…，n-1（1.2）

∏kj=1λj= ∏kj=1sj（1.3）

2 Weyl-Hom定理的擴展

引理2.1

令 1≤m≤n，假設給定的非負數 ，s1≥s2≥…≥sn≥0和復數 λ1，…，λm滿足λ1≥λ2≥…≥λm，下面的關系是等價的：

（a）存在一個n階復矩陣以 s1，s2，…，sm為奇異值和以 λ1，…，λm為其m個特征值。

（b）存在一個n階復矩陣以 s1，s2，…，sm為奇異值和以 λ1，…，λm，r，…，rn-m為其n個特征值，

這里 r=0，若m＝0

( ∏kj=1sj/ ∏kj=1λj)1/(n-m)，若m≠0

（c）∏kj=1sn-j+1≤ ∏kj=1λm-j+1和∏kj=1λj≤∏kj=1sj， k=1，…，m。

上述引理給出了n階復矩陣存在的必要條件和充分條件，使其以給定的非負數s1…sn為奇異值和以 λ1，…，λm為m個特征值。下面的定理對給定的m個奇異值和n個特征值的情形進行了討論。

定理2.2 令 1≤m≤n，給定m個非負數 s1≥s2≥…≥sm≥0和n個復數 λ1，…，λn滿足 λ1≥λ2≥…≥λn，則存在n階復矩陣以 s1，s2，…，sm為其m個奇異值和以 λ1，…，λn為其n個特征值的充分條件為：從 λ1，…，λn中自左至右能選出 m+1個，不妨記為 λ1，…，λm+1滿足 λ1≥…≥λm+1，剩下的 n-m-1個記為 λm+2，…，λn，并且有：

λm+1≤sm，（2.1）

∏kj=1λj≤ ∏kj=1sj， k=1，…，m。（2.2）

證明：充分性：令 sm+1=0，sm＝0，

( ∏m+1j=1λj/ ∏mj=1sj Sm≠0，（2.3）

則如果sm＝0，由（2.2）推知 λ—m和 λ—m+1都為0，綜合條件（2.1）和（2.2）可得：

∏kj=1λj≤ ∏kj=1sj， k=1，…，m-1，（2.4）

∏mj=1λj≤ ∏mj=1sj（2.5）

由引理1.1和（2.4）及（2.5）式知存在m階復矩陣B以 s1，s2，…，sm為奇異值和以 λ1，…，λm為特征值，，則 A=B⊕C以s1，s2，…，sm為奇異值和以 λ1，…，λn為特征值。對Sm≠0但 λm=和 λm+1=0和λm≠0，λm+1=0可進行類似的討論。下面我們假定 Sm，λm和λm+1都不為0。那么 sm+1=∏m+1jλj/ ∏mj=1sj≤∏mj=1sjλm+1/∏mj=1sj=λm+1≤sm有：λ1≥…≥λm+1和s1≥s2≥…≥sm≥sm+1≥0且滿足：

∏kj=1λj≤∏kj=1sj k=1，…，m（2.6）

∏m+1j=1λj= ∏m+1j=1sj（2.7）

由引理1.1和（2.6）及（2.7）式推知存在 m+1階復矩陣 B—以 s1，s2，…，sm+1為奇異值和以 λ1，…，λm+1為特征值，令 C—=diag(λm+2，…，λn)，則 A—=B—⊕C—為n階復矩陣以 s1，s2，…，sm為其m個奇異值和以 λ1，…，λn為特征值。

下面給出復矩陣存在的另一充分必要條件。

定理2.3

令 1≤m≤n，假設給定的非負數s1≥s2≥…≥sn≥0和復數 λ1，…，λm滿足 λ1≥λ2≥…≥λm，存在一個n階復矩陣以s1，s2，…，sn為奇異值和以 λ1，…，λm為其m個特征值的充分必要條件為：

∏kj=1sj≥ ∏kj=1λj，k=1，…，m（2.8）

∏kj=1sm+1-j+1————≤ ∏kj=1λj+1，k=1，…，m（2.9）

其中 s—1，…，s—m，s—m+1為從非負數s1…sn中選取的m+1個數，滿足 s1—≥…≥sm≥sm+1≥0。

證明：令 γ=0，若λm＝0

∏m+1j=1sj—/∏mj=1 λj，若λm≠0（2.10）

考慮向量 ν=(λ1，…，λm，γ)，顯然 ν中分量絕對值的乘積的最大值和 ∏m+1j=1s—j相等，為了能利用引理1.1的結果，我們需要說明 ν中任意的 k(k=1，…，m)個分量絕對值的乘積的最大值介于 ∏m+1j=1s—j與 ∏kj=1s—m+1-j+1之間，現假定 λm，γ，sm+1都不為0。

我們先說明 ν中k(k=1，…，m)個分量絕對值的乘積的最大值小于等于 ∏m+1j=1s—j。分兩種情況討論，如果 γ≤λk，則 ν中 k(k=1，…，m)個分量絕對值的乘積的最大值為 ∏kj=1λj，由條件（2.8）式可知 ∏kj=1λj≤∏kj=1si成立；如果 γ≥λk，則 ν中 k(k=1，…，m)個分量絕對值的乘積的最大值為 ∏k-1j=1λj×∏m+1j=1sj/∏mj=1λj，因為：∏k-1j=1λj×∏m+1j=1sj/∏mj=1λj=∏kj=1sj×∏m+1j=k+1sj/∏mj=kλj

有： ∏k-1j=1λj×∏m+1j=1sj/∏mj=1λj≤∏kj=1sj成立。

同樣我們可以說明ν中任意的 k(k=1，…，m)個分量絕對值的乘積的最小值大于等于 ∏kj=1s—m+1-j+1，則由引理（1.1），我們知道存在m+1階復矩陣B以給定的非負數 s—1，…，s—m，s—m+1和復數λ1，…，λm，γ為其奇異值和特征值，不妨設非負數 s1，s2，…，sn中拿掉 s—1，…，s—m，s—m+1后的 n-m-1個記為 s—m+2，…，s—n，令 C=diag(s—m+2，…，s—n)，則 A=B⊕C是以s1，s2，…，sn為奇異值和以λ1，…，λm為其m個特征值的n階復矩陣。

反過來，由引理2.1及定理充分性的構造性證明過程，我們容易知道條件（2.8）和（2.9）式也是n階復矩陣存在的必要條件。

3 矩陣的構造算法

在定理2.2和定理2.3的構造性證明過程中，事實上已給出了 n階復矩陣的構造思想，在以往研究中詳細地給出了以 n個任意給定的復數為特征值和以 n個任意給定的非負數為奇異值的 n階矩陣的構造算法，并討論了存在共軛特征值的情形，在特征值全為實數時可得到 n階上三角實矩陣，在存在共軛特征值的情形可得到對角元為1階或2階實矩陣的 n階塊對角實上三角矩陣。在本文中，無論是對以 s1，s2，…，sm為其 m(m≤n)個奇異值和以 λ1，…，λn為特征值，還是以s1，s2，…，sn為奇異值和以 λ1，…，λm為其 m(m≤n)個特征值的情形，都只需構造 m+1階實上三角實矩陣或對角元為1階或2階實矩陣的 m+1階塊對角上三角矩陣，這里記為B，有定理2.2和定理2.3，我們知道其奇異值和特征值滿足引理1.1的充分且必要條件，這里取 n=m+1。

以 s1，s2，…，sm為其 m(m≤n)個奇異值和以 λ1，…，λn為特征值情形，由定理2.2知， λ1，…，λn中 λ1—，…，λm+1后剩余的 n-m-1個記為 λm+2，…，λn，此時令 C=diag(λm+2，…，λn)；以s1，s2，…，sn為奇異值和以 λ1，…，λm為其 m(m≤n)個特征值的情形，由定理2.3知，非負數s1，s2，…，sn中拿掉 s—1，…，s—m，s—m+1后的 n-m-1個記為 sm+2…sn，此時令 C=diag(sm+2，…，sn)。對這兩種情形都可以記 A=B⊕C，則矩陣A就是所要構造的矩陣。

4 參考文獻

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