用函數性質解數列問題的錯誤一例

張長雁

數列是按一定次序排列的一列數.在函數意義之下，數列是定義域為正整數集合N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函數f(n)當自變量n從1開始依次取自然數時所對應的一列函數值f(1),f(2),f(3),…，f(11),…，通常用a-n代替f(n)，簡記｛a-n｝，其中a-n是數

列{an}的第n項.這樣，我們可以通過函數的性質類推數列的某些特性，但是，反過來，由已知數列的某些特性去確定參數的取值范圍時，我們習慣地運用函數的性質去解決，從而導致了一些不易察覺的錯誤.下面就本人在教學過程中，師生討論的一例情況展示如下：

問題：已知數列{an}為遞增數列，且對于一切的正整數n，都有an=n2+λn恒成立，求λ的取值范圍.

教師：如何理解數列{an}為遞增數列?

學生：對于一切的正整數n，都有an.

教師：那么，本題怎么解?先獨立思考幾分鐘，再推算，如果實在想不出解決的辦法，再相互討論.

(經過2分鐘后，有人舉手發言)

學生甲：由an得到λ+2n+1>0后，不知如何做了?

學生乙：由an得到λ>-(2n+1)后，不知如何做了?

教師：你如何想到做移項的轉化呢?

學生：因為要求解λ的范圍.

教師：解出不等式λ>-(2n+1)是一步關鍵的轉化，但由題意知是否成立?

學生乙：對于一切的正整數n，不等式λ>-(2n+1)應恒成立.

教師：那么必須λ大于多少?

學生乙：啊!只需λ大于-(2n+1)的最大值就可以，是λ>-3.

教師：還有不同的意見嗎?

學生丙：我的解法與剛才的同學的不同!

教師：請你板演一下.

學生丙的解答如下：

解：因為an=n2+λn=(n+λ2)2-λ24，由二次函數的圖像知道，當圖像開口向上時，an在n∈(-λ2,+∞)時遞增，所以要使數列{an}在n∈N*時為遞增數列，必須對稱軸n=-λ2≤1，即λ≥-2.

教師：同學們判斷一下，到底哪一種的解答正確呢?

(學生議論紛紛，無法確定，教師啟發)

教師：能否用排除法?不妨取λ=-2.5試一試數列{an}是否遞增?

學生板演：an=n2-2.5n=(n-1.25)2