例談用公式法處理立幾中的角問題

羅章軍

求空間角的大小是立體幾何中的一個重點，但無論是異面直線的夾角，直線與平面的夾角，還是平面與平面的夾角，都必須作出其平面角后再求解.有時由于已知的線面位置關系比較隱晦，所求平面角無法作出，使得解題夭折.為此，本文將利用三面角余弦定理推導出求上述三類空間角的公式，運用這些公式，可避開求作平面角的困難，簡捷地求出要求的平面角.

一、用公式法處理二面角的平面角

三面角余弦定理：若記三面角O-ABC中的∠AOC=α,∠BOC=β,∠AOB=γ，二面角A-OC-B=θ，則cosθ=cosγ-cosαcosβsinαsinβ.

證明：在OC上取點C′，過C′作A′C′⊥OC′，B′C′⊥OC′，連A′B′，則∠A′C′B′即為A-OC-B的平面角.在Rt△OA′C′和Rt△OB′C′中，sinα=A′C′OA′,cosα=OC′OA′,sinβ=B′C′OB′,cosβ=OC′OB′,在△OA′B′中，由余弦定理cosγ=OA′2+OB′2-A′B′22OA′·OB′,

∴cosγ-cosαcosβsinαsinβ=OA′2+OB′2-A′B′2-2OC′22A′C′·B′C′=A′C′2+B′C′2-A′B′22A′C′·B′C′=cosθ.

例1 在正△ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=1∶2，將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，連結A1B、A1P，求二面角B-A1P-F的大小.

解：設△ABC的邊長為3，由題設知EF⊥BE，又A1-EF-B成直二面角，∴A1E⊥面BEP，CP=CF,∴PF∥BE,∴PF⊥平面A1EF，∴PF⊥A1F.∴cos∠A1PF=15,cos∠BPF