巧用圓錐曲線定義解題

吳英子

在解題過程中學生往往對數學定義未加重視，以至于在解題時不能及時地發現一些促進問題迅速獲解的隱含條件，造成運算繁雜的情況，因此合理應用定義是尋求解題捷徑的一種重要方法.圓錐曲線的定義反映了圓錐曲線的本質特征，實際問題中，許多與圓錐曲線上的點到焦點距離相關的問題若考慮定義則常有事半功倍之效.下面舉幾例加以說明.

一、利用定義求軌跡

例1 已知△ABC的兩個頂點坐標是A(-4，0)，B(4，0)，周長為18，求頂點C的軌跡方程.

解：由題意|CA|+|CB|=18-8=10.由橢圓定義知點C的軌跡是以A(-4，0)，B(4，0)為焦點，長軸長為10的橢圓除去兩點(±5,0),其軌跡方程為x225+y29=1(y≠0).

例2 F1、F2是雙曲線的兩焦點，Q是雙曲線上任意一點，從某一焦點引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為P，則P點軌跡為().

A.直線 B.圓 C.橢圓 D.雙曲線

解：如圖1，從F2作∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為P，并延長F2P交QF1于M，則由已知|QF2|=|QM|，連結OP，∵P，O分別為F2M、F1F2的中點，∴|OP|=12·|F1M|,