三角函數中給式求值問題的求解策略

周金國

三角函數的求值問題是三角學的一類基本問題，也是一類重要題型，一直是高考命題的熱點和重點，通常有給角求值、給值求值、給式求值等類型，其中給式求值相對難度大一些.本文擬對給式求值問題予以總結和探討，供各位同仁在教學中參考.

一、利用整體思想通過角的變換求解

例1 已知tan(α+β)=25,tan(β-π4)=14,求tan(α+π4)的值.

解法1：tan(α+π4)=tan［(α+β)-(β-π4)］=tan(α+β)-tan(β-π4)1+tan(α+β)tan(β-π4)=25-141+25×14=322.

解法2：由tan(α+β)=tan［(α+π4)+(β-π4)］=tan(α+π4)+tan(β-π4)1-tan［(α+π4)(β-π4)］，所以25=tan(α+π4)+141-tan(α+π4)×14,解得tna(α+π4)=322.

點評：利用整體思想解題是我們經常采用的解題方法，要能靈活運用角的變換α+π4=(α+β)-(β-π4),α+β=(α+π4)+(β-π4)，根據已知條件有多種代換的方法.

例2 (2007年·四川高考題)已知cosα=17,cos(α-β)=1314，且0<β<α<π2.

(1)求tan2α的值；(2)求β.

解：(1)由cosα=17,0<α<π2，得sinα=1-cos2α=1-(17)2=437.∴tanα=sinαcosα=437×71=43.于是tan2α=2tanα1-tan2α=2×431-(43)2=-8347.

(2)由0<β<α<π2，得0<α-β<π2.又∵cos(α-β)=1314,∴sin(α-β)=1-cos2(α-β)=1-(1314)2=3314.

由β=α-(α-β),得cosβ=cos［α-(α-β)］

=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=17×1314+437×3314=12,∴β=π3.

點評：在三角函數的求值、化簡、證明等問題中，我們往往可以從已知、求證式子中的角的關系作為切入點，要分析已知角與待求角之間的聯系，尋求解決問題的思路.本題已知α、α-β，所求的角為2α，β，不難發現β=α-(α-β),這便找到了問題的出發點.

二、將給式求值問題轉化為方程(組)或不等式求解

例3 已知sinx+siny=23,求cosx+cosy的最大

值和最小值.

解：設t=cosx+cosy,又sinx+siny=23，則兩式平方相加得：2+2cos(x-y)=(23)2+t2,cos(x-y)=12［(23)2+t2-2］,又|cos(x-y)|≤1,∴|12［(23)2+t2-2］|≤1，解得：

-423≤t≤423,故cosx+cosy的最大值為432