淺談抽象函數的解題策略

王文龍

在函數部分的綜合題中，我們常會遇到一類抽象函數問題.由于其表達形式的現象和性質的隱蔽，使得直接求解的思路常難以尋求.事實上，這類問題都以中學階段所學的基本函數為模型.只要我們善于聯想和類比，挖掘出作為模型的函數，從抽象函數的背景函數出發，變抽象為具體，必能為解題提供思路和方法.筆者以例說明，希望能對同學們有所幫助.

一、正比例函數為背景函數

例1 已知函數f(x)定義在R上，對任意的x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且當x>0時f(x)>0,f(1)=2,問當-4≤x≤4時，函數f(x)是否存在最小值?若存在，求出其最小值；若不存在，請說明理由.

分析：以正比例函數f(x)=kx(k≠0)為背景函數，它滿足f(x+y)=f(x)+f(y)或f(x-y)=f(x)-f(y)，因此求函數f(x)在［-4，4］上的最大值與最小值，要從函數f(x)在［-4，4］上的單調性入手來求解.

解：令x=y=0，則f(0+0)=f(0)+f(0)，