對原函數與反函數圖像交點問題的再探究

董令華

文［1］通過例題分析探索了互為反函數的兩個函數圖像交點個數的可能情況，讀后很受啟

發，筆者在此想對單調函數的互為反函數的圖像交點個數問題作進一步探究，供同仁參考.

一、與反函數有關的兩個常見命題

命題1 單調函數必有反函數，且互為反函數的兩個函數單調性相同；存在反函數的函數不一定是單調函數^{［2］［3］}.

命題2 單調增的函數與其反函數如果有交點，則交點必在直線y=x上；單調減的函數與其反函數如果有交點，交點不一定都在直線y=x上.

下面僅對命題2進行證明：

設單調函數f(x)與其反函數圖像的一個交點是(a,b)，則點(b,a)也必是兩函數圖像的另一個交點，且b=f(a),a=f(b).

①若y=f(x)單調增，則要證明兩圖像交點在直線y=x上，只需證明a=b.

下面用反證法證明，假設a≠b.

若a>b且f(x)是增函數，則a=f(b)a，這與條件a>b矛盾，a>b不可能.

同理a

即若y=f(x)單調遞增，互為反函數的兩函數圖像交點必在直線y=x上.

②若y=f(x)單調遞減，假定a

同理，b

只有當a=b時，兩圖像交點才在直線y=x上.

綜上所述，命題2得證.

二、對兩個流行性反例的解釋

文［1］、［2］、［3］對命題“互為反函數的兩個函數圖像交點必在直線y=x上”判斷時都舉出了例子y=1x和y=-1x.

依據命題2，對兩個例子解釋如下：

(1)y=1x(x>0,x<0,x≠0)與其反函數分別對應于y=1x(x>0,x<0,x≠0)，也就是它本身，因而兩圖像重合，且有無數個交點，此時y=

1x在x>0或x<0時是單調減函數，其交點不一定都在y=x上，符合命題2.

(2)y=-1x(x>0)在x∈(0,+∞)時單調增，而其反函數是y=-1x(x<0)，此時兩函數根本沒有交點，當然也就不存在交點在y=x上.

同理y=-1x(x<0)與其反函數y=-1x(x>0)的圖像也沒有交點.

只是y=-1x(x≠0)與其反函數y=-1x(x≠0)的圖像重合，且與直線y=x沒有交點，這也符合命題2.

這樣，文［1］結束語就更加完整.

參考文獻

［1］錢文穎，邵春和.原函數與反函數圖像交點問題的探究.數學教學，2006，5.

［2］趙芝川.解析反函數，數學教學.2006，5.

［3］王德明.如何理解“y=f(x)”的一些問題.數學教學.2006，5.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文