例析有理數運算新試題

唐耀庭

圍繞有理數的內容,近幾年各地的中考試卷中,出現了一批新穎的考題,下面采擷部分試題淺析,希望能對大家有所啟發.

一?社會熱點型試題

例1 小王上周五在股市以收盤價(收市時的價格)每股25元買進某公司股票1 000股.在接下來的一周交易內,小王記下該股票每日收盤價相比前一天的漲跌情況如表1(單位:元).

表1

星期一二 三四 五

每股漲跌 +2 -0.5+1.5 -1.8 +0.8

根據上表回答問題:

(1)星期二收盤時,該股票每股多少元?

(2)本周內該股票收盤時的最高價和最低價分別是多少?

(3)已知買入股票與賣出股票均需支付成交金額的5‰的交易費.若小王在本周五以收盤價將全部股票賣出,他的收益情況如何?

解析:(1)星期二收盤價時,該股票每股為25+2-0.5=26.5(元).

(2)星期一收盤價為25 + 2 = 27 (元);

星期二收盤價為25 + 2 - 0.5 = 26.5 (元) ;

星期三收盤價為25 + 2 - 0.5 + 1.5 = 28 (元);

星期四收盤價為25 + 2 - 0.5 + 1.5 - 1.8 = 26.2 (元);

星期五收盤價為25 + 2 - 0.5 + 1.5 - 1.8 + 0.8 = 27 (元).

一周內該股票收盤時的最高價為28元 / 股;收盤最低價為26.2元 / 股.

(3)股票賣出后的收益等于賣出股票的價格減去買入股票的價格減去買入股票與賣出股票分別支付成交金額的5‰的交易費.故小王的收益為:27 × 1 000(1 - 5‰)-25 × 1 000(1 + 5‰) = 27 000 - 135 - 25 000 - 125 = 1 740(元).

本題以社會熱點為背景,目的是促使大家在平時的學習中,多關注社會的重大事件,同時還要關注學科間的滲透,體現了數學的實用性和教育性.

二?規律探究型試題

例2 意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時,發現有這樣一組數:1,1,2,3,5,8,13,…其中從第三個數起,每一個數都等于它前面兩個數的和.

現以這組數中的各個數作為正方形的邊長構造正方形如圖1所示.

圖1

再分別依次從左到右取2個?3個?4個?5個正方形拼成圖2所示的矩形并記為①?②?③?④.相應矩形的周長如表2所示.

① ②③④

圖2

表2

序號 ① ② ③ ④

周長 610 16 26

若按此規律繼續作矩形,則序號為⑩的矩形周長是.

解析:正確理解斐波那契數列的意義是解決本題的關鍵.仔細觀察圖表?圖形可以發現①?②?③?④矩形的周長也是斐波那契數列,故可猜想第⑤個矩形的周長為26+16=42,依次類推可知第⑩個矩形的周長為466.

試題提供了具體事例.要求發現數的排列結構順序的特征和規律,它既能充分考查基礎知識的掌握程度,又能較好地考查觀察?分析?比較?概括的能力,發散思維的能力.

三?探索型試題

例3 在五環圖案內,分別填寫五個數a?b?c?d?e,如圖3,其中a?b?c是三個連續偶數(a < b < c),d?e是兩個連續奇數(d < e),且滿足a + b + c = d + e,例如圖4.請你在0到20之間選擇另一組符號條件的數填入圖5.

圖3 圖4 圖5

本題巧妙地以在五環圖案內填數的游戲為載體,將數的運算融合于其中,激發同學們探究數學問題的欲望,為枯燥無味的運算找到了可以借鑒的問題背景.由條件開放性決定了算式的多樣性,所以結果也是不唯一的.但同學們通過算式a+b+c=d+e可以得到如下猜想:左邊是3個連續偶數的和,結果必為偶數,右邊是兩個連續奇數的和,因此等式左邊的結果的一半必為偶數,才能拆成2個連續奇數的和(思考這是為什么).

解:因為a?b?c是三個連續偶數(a < b),所以不妨設a = 2n - 2,b = 2n,c = 2n + 2,又d?e是兩個連續奇數(d < e),所以不妨d = 2m - 1,e = 2m + 1.因為a + b + c = d + e,所以2n - 2 + 2n + 2n + 2 = 2m - 1 + 2m + 1,即3n = 2m.由于m?n在0到20之間,所以答案不唯一.如:當n = 4,m = 6時,a = 6,b = 8,c = 10,d = 11,e = 13,或a = 10,b = 12,c = 14,d = 17,e = 19.結果如圖6.

圖6

例4 如圖7,時鐘的鐘面上標有:1,2,3,…,12共12個數,一條直線把鐘面分成了兩部分.請你再用一條直線分割鐘面,使鐘面被分成三個不同的部分且各部分所包含的幾個數的和都相等,則其中的兩個部分所包含的幾個數分別是和.

解析:鐘面上標著1到12這12個連續整數,它們的和為78.由鐘面分成三個不同的部分且各部分所包含的數的和都相等,得每部分的和必須是=26.而其中已有部分的數的和為11+12+1+2=26,所以只需另外一條直線分成兩部分的和分別為26,于是可再作直線l,如圖8,分成的各部分分別為1?2?11?12,3?4?9?10,5?6?7?8.

把簡單的數學內容放在豐富的生活情境中,體現了數學與生活的聯系,反映了數學的價值,增強了學生用數學的意識,拓寬了學生的視野,有利于塑造學生的思維能力和思維品質.

四?數形結合型試題

例5 2008年8月,第29屆奧運會將在北京開幕,5個城市的標準時間(單位:時)在數軸上表示如圖9,那么北京時間2008年8月8日20時應是().

A. 倫敦時間2008年8月8日11時

B. 巴黎時間2008年8月8日13時

C. 紐約時間2008年8月8日5時

D. 首爾時間2008年8月8日19時

解析:觀察數軸可知,巴黎?倫敦?紐約所在時區分別比北京早7 h?8 h和13 h,而首爾所在時區比北京晚1 h.所以北京時間2008年8月8日20時分別相當于巴黎時間2008年8月8日13時,倫敦時間2008年8月8日12時,紐約時間2008年8月8日7時,首爾時間2008年8月8日21時.故選B.

中考試題考查“雙基”,不會只考查積累,還著眼于考查對“雙基”的理解.數軸基礎性試題解題關鍵是找出隱含在數軸上的解題信息.

五?方案設計型試題

例6 甲?乙兩同學做“投球進筐”游戲.商定:每人玩5局,每局在指定線外將一個皮球投往筐中,一次未進可再投第二次,以此類推,但最多只能投6次,當投進后,該局結束,并記下投球次數;當6次都未投進時,該局也結束,并記為“×”.兩人五局投球情況如表3.

表3

(1)為計算得分,雙方約定:記“×”的該局得0分.其他局得分的計算方法要滿足兩個條件:①投球次數越多,得分越低;②得分為正數.請你按約定的要求,用公式?表格?語言敘述等方式,選取其中一種寫出一個將其他局的投球次數n換算成得分M的具體方案.

(2)請根據上述約定和你寫出的方案,計算甲?乙兩人的每局得分,填入牌上的表格中,并從平均分的角度來判斷誰投得更好.

解法1:(1)其他局投球次數n換算成該局得分M的公式為M=7-n.

(2)如表4.

表4

甲 = =(分);

乙== (分).

故以此方案來判斷:乙投得更好.

解法2:(1)其他局投球次數n換算成該局得分M的公式為M= .

(2)如表5.

表5

甲 == (分);

乙== (分).

故以此方案來判斷:甲投得更好.

解法3:(1)其他局投球次數n換算成該局得分M的方案如表6.

表6

n(投球次數)12 3456

M(該局得分) 65 432 1

(2)如表7.

表7

甲 == (分);

乙== (分).

故以此方案來判斷:乙投得更好.

本題以學生經歷的事件為背景,體現了數學對生活的指導意義,同時也在提醒我們會用數學的眼光看世界.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內容請以PDF格式閱讀原文