巧填加減號

邢進文

雙休日,聰聰和明明做完了老師布置的作業,他倆又被一道有趣的數學游戲題迷住了……

題目是這樣的:在1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個數字之間任意添上“+”?“-”,使這9個數字既不重復也不遺漏,經過運算后結果為23,有幾種方法?

聰聰思考良久,很快設計出下面一種方案:

1-2+3+4+5+6+7+8-9=23.

明明也不遜色,馬上寫出:

1+2-3+4+5+6+7-8+9=23.

“可是這樣找下去既費神,又勞心,什么時候才能把所有的方法給找全呢?”聰聰苦惱地說道.

“是啊,要是能找到一種不用窮舉的方法來解決這道難題就好了!”明明說.

“嗯,那咱們就得另尋他路,試著從別的方面尋找突破口!”聰聰若有所思地回答道,“你看,在剛才我們倆所寫的運算式中,雖然方法不一樣,但所有正數的代數和都等于34,所有負數的代數和都等于-11,這樣一來,相加之后的和就等于23了!”

“噢,是的!”明明興奮地說道,“你的思路啟發了我,可以設在填上適當的‘+?‘-后,所有正數的代數和為a,所有負數的代數和為b,故有等式a+b=23.”

“嗯,再來看看這9個數字的絕對值的和吧,容易發現它們的絕對值的和等于45.也就是說,|a|+|b|=45,根據絕對值的意義,可以得到a-b=45.”聰聰補充道.

“由a+b=23,可得a=23-b,在a-b=45中,可以將a換作23-b,就得到了23-b-b=45,從而有b=-11.接下來的問題就是如何在這9個數字中適當地填上‘+?‘-,使負數的代數和為-11了.”明明像發現了新大陸一樣高興地說道,“不難發現-11=-2-9=-3-8= -4-7=-5-6=-1-2-8=-1- 3-7=-1- 4-6=-2-3-6=-2-4-5這9種算法……”

“那這樣就有9種填法:

1-2+3+4+5+6+7+8-9=23;

1+2-3+4+5+6+7-8+9=23;

1+2+3-4+5+6-7+8+9=23;

1+2+3+4-5-6+7+8+9=23;

-1-2+3+4+5+6+7-8+9=23;

-1+2-3+4+5+6-7+8+9=23;

-1+2+3-4+5- 6+7+8+9=23;

1-2-3+4+5-6+7+8+9=23;

1-2+3-4-5+6+7+8+9=23.”

聰聰搶過話頭,一口氣把所有的方法給羅列完.