握手握出的數(shù)學(xué)問(wèn)題

康　松

學(xué)校召開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì),參加1 500m長(zhǎng)跑的第一組的9位同學(xué)來(lái)到檢錄處點(diǎn)名,他們互相握手致意. 檢錄處的王老師看得眼花繚亂,不過(guò)他卻發(fā)現(xiàn)每?jī)晌煌瑢W(xué)之間都握了一次手. 于是,王老師給同學(xué)們提出了一個(gè)問(wèn)題:“誰(shuí)能說(shuō)出9位同學(xué)一共握了多少次手?”你能為他們解答這一問(wèn)題嗎?讓我們一起來(lái)探究一下.

這其實(shí)是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,所以應(yīng)該考慮用數(shù)學(xué)的方法解決. 我們可以給這9位同學(xué)編上號(hào),從第1位同學(xué)到第9位同學(xué),分別是1至9號(hào). 那么,要想解答這一問(wèn)題,方法起碼有3種.

第一種方法是沒(méi)有規(guī)律地亂數(shù),但這樣很容易數(shù)錯(cuò),很可能會(huì)產(chǎn)生遺漏或是重復(fù)的情況.

第二種方法是從左往右按順序有規(guī)律地?cái)?shù),即:

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9);

(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9);

(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9);

(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9);

(5,6),(5,7),(5,8),(5,9);

(6,7),(6,8),(6,9);

(7,8),(7,9);

(8,9).

所以他們握手的次數(shù)可以這樣計(jì)算:8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36.

第三種方法是分析推理:因?yàn)槊课煌瑢W(xué)都要與另外8位同學(xué)握手,也就是說(shuō)每位同學(xué)都要握8次手,那么9位同學(xué)就一共要握8×9=72次手. 但是,因?yàn)槊績(jī)晌煌瑢W(xué)之間握的一次手實(shí)際上都統(tǒng)計(jì)了兩次,比方說(shuō)我們統(tǒng)計(jì)了一次1號(hào)同學(xué)與2號(hào)同學(xué)握手,又統(tǒng)計(jì)了一次2號(hào)同學(xué)與1號(hào)同學(xué)握手,所以實(shí)際握手次數(shù)是72 ÷ 2 = 36.

比較一下可以知道,顯然是第三種方法最簡(jiǎn)捷,也最準(zhǔn)確. 比方說(shuō)10位同學(xué)之間都握了一次手,那么握手的次數(shù)就應(yīng)該是9 × 10 ÷ 2 = 45. 而且,即使有很多人握手,我們同樣可以根據(jù)這一規(guī)律進(jìn)行計(jì)算:如果一共有n個(gè)人之間互相握手,那握手的總次數(shù)就是.

這一規(guī)律可不是只能用來(lái)計(jì)算握手的次數(shù),在代數(shù)與幾何中都能發(fā)現(xiàn)它的身影.

例1 如圖1,已知線段AF上有B?C?D?E四個(gè)點(diǎn),那么圖中共有多少條線段?

圖1

圖中的每條線段都是兩個(gè)端點(diǎn)之間的連線,我們可以把它看做兩個(gè)點(diǎn)之間的握手,這樣我們就可以利用上述規(guī)律進(jìn)行計(jì)算. 因?yàn)楸绢}中有6個(gè)點(diǎn),即n = 6, == 15. 則圖中共有15條線段.

換個(gè)角度:已知線段AF上共有15條線段,則在線段AF上除A?F外共有幾個(gè)點(diǎn)?

設(shè)在線段AF上共有n個(gè)點(diǎn),則 = 15,解得n = 6,即在線段AF共有6個(gè)點(diǎn),再去掉A?F兩個(gè)端點(diǎn),可得6 - 2 = 4,在線段AF上除A?F外共有4個(gè)點(diǎn).

例2 如圖2,已知∠AOB中有三條射線OC?OD?OE,請(qǐng)問(wèn)圖中共有幾個(gè)角.

圖2

圖中的每個(gè)角都是兩條線段之間的夾角,我們可以把每個(gè)角看做兩條線段之間的握手,這樣我們同樣可以利用上述規(guī)律進(jìn)行計(jì)算. 因?yàn)楸绢}中有5條線段,即n=5, == 10. 則圖中共有10個(gè)角.

換個(gè)角度:已知有公共端點(diǎn)的n條射線共形成了10個(gè)角,求n的值.

= 10,解得n = 5,即共有5條射線.

例3 請(qǐng)問(wèn)圖3中共有幾個(gè)長(zhǎng)方形.

圖3

經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn),圖中每?jī)蓷l豎線都分別屬于不同的長(zhǎng)方形,我們可以把每個(gè)長(zhǎng)方形看做兩條豎線之間的握手,這樣我們就可以利用上述規(guī)律進(jìn)行計(jì)算. 因?yàn)閳D中有7條豎線,即n = 7, ==21. 則圖中共有21個(gè)長(zhǎng)方形.

拓展一下:請(qǐng)問(wèn)圖4中共有幾個(gè)長(zhǎng)方形.

圖4

每橫排的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)與橫線上的線段的條數(shù)相等,即有 = =36(個(gè)). 同理,每豎列上的長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為 = =10(個(gè)). 則圖中長(zhǎng)方形共有36 × 10 = 360(個(gè)).

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文