如何探索數字問題中的規律

劉　軍

探索規律問題是近幾年考試的熱點,數字問題出現的頻率較大,現將探索數字問題的規律題分類說明.

一?探索個位數問題

例1 觀察下列等式:21 = 2,22 = 4,23 = 8,24 = 16,25 = 32,26 = 64,27 = 128,…通過觀察,用你所發現的規律確定22 006的個位數字是.

通過計算發現,在計算2的冪的運算時,個位數四個四個地循環,因為,2006 = 4 × 501 + 2所以22 006的個位數和22的個位數相同,即22 006的個位數是4.

說明:在計算的時候要注意觀察個位數字的變化規律,找出循環的周期,得出一般規律:指數被4整除時,個位上的數字與24個位上的數字相同,指數被4整除余1時,個位上的數字與21的個位上的數字相同,依此類排.

二?探索特殊數的乘方問題

例2 你能很快算出2 0052 嗎?

為了解決這個問題,我們考察個位數為5的自然數的平方,任意一個個位數為5的自然數可用代數式表示為10n + 5,問題即求(10n + 5)2 的值(n為自然數),試分析n = 1,n = 2,n = 3,…這些簡單情況,從中探索其中的規律,并歸納?猜想出結論(在下面空格內填上你的探索結果).

(1) 通過計算,探索規律:

152 = 225,可寫成100 × 1 × (1 + 1) + 25;

252 = 625,可寫成100 × 2 × (2 + 1) + 25;

352 = 1 225,可寫成100 × 3 × (3 + 1) + 25;

452 = 2 025,可寫成100 × 4 × (4 + 1) + 25;

752 = 5 625,可寫成.

852 = 7 225,可寫成.

……

(2)從第(1)題的結果,歸納?猜想得:

(10n + 5)2=.

(3)根據上面的歸納?猜想,請算出:2 0052 = .

解:(1) 100 × 7 × (7 + 1) + 25 100 × 8 × (8 + 1) + 25;

(2) 100n(n + 1) + 25( n為自然數)

(3) 100 × 200 × (200 + 1) + 25 = 4 020 025.

說明:本例的實質是先用代數式表示出一般情況,再求特殊情況下代數式值的計算規律,歸納出一般性結論,再求這個一般性結論中代數式的值,體現了“特殊 — 一般 — 特殊”的思想方法,這正是用字母代數(從特殊到一般)后再求代數式值(從一般到特殊)這種思想方法的反復應用.

三?探索數表中數的規律問題

例3 圖1是一個有規律排列的數表,請用含n的代數式(n為正整數)表示數表中第n行第n列的數: .

通過觀察數表中的第一列,發現每一個數都是一個數的平方的形式,并且第n行是n的平方. 而第n行第n列的數是第n行的第n個,即數字是:n2 - (n - 1) = n2 - n + 1.

解:第n行第n列的數是 n2 - n + 1.

四?探索數列中數的規律問題

例4 人民公園的側門口有9級臺階,小聰一步只能上1級臺階或2級臺階,小聰發現當臺階數分別為1級?2級?3級?4級?5級?6級?7級……逐漸增加時,上臺階的不同方法的種數依次為1?2?3?5?8?13?21……這就是著名的斐波那契數列. 那么小聰上這9級臺階共有種不同方法.

這一列數的特點是:從第三個數起,每一個數是前面兩個數的和. 8級臺階有13 + 21 = 34(種)方法,9級臺階有34 + 21 = 55(種)不同的方法.

說明:這里不能用公式表示這列數的一般性規律,但根據“每一個數是前面兩個數的和”這一個規律可以將前面的數都寫出,這樣就可求出所要求的某一個數,從而得到上某級臺階共有幾種不同方法.

例5 瑞士中學教師巴爾末成功地從光譜數據,,,,…中得到巴爾末公式,從而打開了光譜奧妙的大門,按這種規律寫出第7個數據是 .

先認真觀察所給數據的分子可知分別是按規律32,42,52,62,…排列的,再看每個分數的分母可發現均比對應的分子小4,即所給數據可分別按上述規律寫成:= , = ,= ,= ,… 故可知第7個數據應是 = ,故填.

說明:本處運用了歸納思想解題,利用它常可以從看似“雜亂”的問題中找出內在的規律,使問題變得有章可循.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內容請以PDF格式閱讀原文